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2014(H26)入試分析 算数 筑波大附属駒場中学校

2014.02.23 11:03|入試問題分析(算数)
631名受験,合格者は128名。合格最低点は500点満点で343点(算国理社各100点×4+調査書100点)
調査書(報告書)が100点満点で点数化されます。この調査書が何点ぐらいになるかは一切わかりません。ですので,当日の学力テストでは70%を目安に得点力を付けていくといいでしょう。
今年度の問題で言うと,大問1は4/4,大問2は4/6,大問3は2/3,大問4は1/4を押さえれば,全体としては11/17,65%程度の得点率ですので,このラインは何があっても死守しないといけませんね。その上であと1問,何とか取っていきたいところです。

それでは,問題の解説に移りましょう。今回は,今年の問題の中で一番点数化しにくい大問4を取り上げます。

(問題)H26 筑波大附属駒場中学校 算数 大問4番
いくつかのサッカーチームが参加して、総当たり(各チームが他のすべてのチームと1回ずつ対戦すること)の
大会を行います。大会の各試合について、次のようにポイントが与えられます。
     勝敗がついたとき   勝ったチームに3点、負けたチームは0点
     引き分けのとき    両チームに1点ずつ
大会のすべての試合が終わった後、各チームでポイントの合計を計算します。
ここでは、計算した各チームの合計ポイントの組み合わせに、どのようなものがあるかを考えます。
たとえば、参加が2チームのときは1試合が行われ、合計ポイントの組み合わせは(3,0),(1,1)の2通り
になります。
参加が3チームのときは、引き分けが1試合もなければ合計ポイントの組み合わせは(6,3,0),(3,3,3)
の2通りです。また、3試合とも引き分けならば(2,2,2)だけになります。
参加が4チームのとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 4チームの合計ポイントをすべて加えると何点になりますか。考えられるもののうち、最も大きい数と最も小
さい数を答えなさい。
⑵ 4チームの中に合計ポイント9点のチームがあるとき、他の3チームの合計ポイントの組み合わせには、どの
ようなものがありますか。数を大きい順に並べて、上の例にある(○,△,□)のようにして、考えられるものを
すべて答えなさい。
⑶ 4チームの中に合計ポイント7点のチームが1チームだけあるとき、他の3チームの合計ポイントの組み合わ
せは何通りありますか。


⑴ 4チームの試合数は,4C2=6試合です。すべて勝敗が決まると,1試合につきポイントは3点なので,3×6=18点…最大
すべて引き分けの場合は,1試合につきポイントは2点なので,2×6=12点…最小
⑵ 1チームの試合数は3試合なので,合計ポイント9点のチームはすべて勝ったことになり,この段階では他の3チームはすべて0勝(0ポイント)です。
ですから,残り3チームで総当たり戦を行った場合のポイントの組み合わせを考えるといいですね。
ここでは最高点によって場合分けをして調べましょう。
・最高点が6点(2勝0敗)のとき(下の参考図1参照)
 残り2チームはまだポイントはなく,この2チームの間ではポイントは(3,0)と(1,1)が考えられます。
 →(6,3,0),(6,1,1)ができます。
・最高点が4点(1勝1引き分け)のとき(下の参考図2参照)
 残り2チームはどちらかに引き分けの1点があるはずです。先ほどと同じくこの2チームの間ではポイントは(3,0)と(1,1)が
 考えられますから,ここに1点を加えた(4,0),(3,1),(2,1),(1,2)が考えられます。
 後の2つは重複しているので,1つ消しましょう。
 →(4,4,0),(4,3,1),(4,2,1)ができます。
・最高点が3点(1勝1敗)のとき(下の参考図3参照)
 残り2チームはどちらかがすでに1勝して3点があるはずです。
 先ほどと同じくこの2チームの間ではポイントは(3,0)と(1,1)が考えられますから,ここに3点を加えると,
 (6,3),(3,3),(4,1),(1,4)が考えられますが,最高点が3点なので,(3,3)だけになりますね。
 →(3,3,3)ができます。
・最高点が2点(2引き分け)のとき
 この場合は,すべて引き分けになりますね。
 →(2,2,2)ができます。
[参考図]
筑駒2014 1
⑶ ⑵は3チームが総当たり戦をする場合のポイントの取り方をすべて考えたものなので,この結果が利用できます。
再度,すべて書き出し,㋐~㋖の記号を付けておきます。
㋐(6,3,0),㋑(6,1,1),㋒(4,4,0),㋓(4,3,1)
㋔(4,2,1),㋕(3,3,3),㋖(2,2,2)
ポイントが7点のチームは2勝1引き分けですから,残り3チームには上記㋐~㋖のそれぞれの数字のどこかに引き分けポイントの1点が加わります。
ここからできる組み合わせは,
㋐(7,3,0),(6,4,0),(6,3,1)
㋑(7,1,1),(6,2,1),(6,1,2)
㋒(5,4,0),(4,5,0),(4,4,1)
㋓(5,3,1),(4,4,1),(4,3,2)
㋔(5,2,1),(4,3,1),(4,2,2)
㋕(4,3,3),(3,4,3),(3,3,4)
㋖(3,2,2),(2,3,2),(2,2,3)
以上21通りあります。
この中で重複するものと7点の入ったものを消すと
(7,3,0),(6,4,0),(6,3,1)
(7,1,1),(6,2,1),(6,1,2)
㋒(5,4,0),(4,5,0),(4,4,1)
㋓(5,3,1),(4,4,1),(4,3,2)
㋔(5,2,1),(4,3,1),(4,2,2)
㋕(4,3,3),(3,4,3)(3,3,4)
㋖(3,2,2),(2,3,2)(2,2,3)
となりますから,残りを数えて12通りとなります。

この問題の⑵では「最高点」という基準で場合分けして考えましたが,書き出して調べるときは,基準を何に置くかが大切です。ここをあいまいにしたままやみくもに数えようとすると,抜けや重複が発生し,せっかく時間をかけてやってもいい結果が出ません。書き出さないといけない場合は,このことを念頭にやりましょう。(道)
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