2014(H26)入試分析 算数 駒場東邦中学校

2014.02.27 14:22|入試問題分析(算数)
今回は駒場東邦中学校です。

まず,今年の入試に関して。志願者数は652名,受験者数630名,合格者数270名で,実競争率は2.3倍,合格最低点は241/400点(60.25%)でした。
算数は大問4問,小問13問です。受験者平均が73.8/120点,合格者平均が88.9/120点でした。ですので,受験希望者は算数で7割を確保することを目指しましょう。
解答用紙には,解答欄以外に,大問2以降(答えの出し方)欄があります。学校の公式サイトには「答えだけ合えばそれでよいと考えるのではなく、途中の考え方を含め、求められていることにはきちんと解答してほしいと考えています。その努力のあとが見られる答案については相応の評価をしています。」と出ています。きちんと考え方を残して答案作成する練習を普段からやっておきたいですね。

それでは問題の解説です。今回は大問3を見てみましょう。
(問題)H26 駒場東邦中学校 算数 大問3番
毎月行われるパーティーでは,すべての参加者が他の参加者全員と1回ずつ握手をすることになっています。その握手の回数の合計を考えます。例えば参加者が3人のときは握手の回数の合計は3回,4人のときは6回になります。
⑴ 参加者が6人のときは握手の回数は合計何回になりますか。
⑵ ある月の握手の回数の合計は308の倍数でした。この月の参加者は少なくとも何人でしたか。
⑶ 今月の参加者は先月の参加者の2倍でした。今月,先月の握手の回数の合計をそれぞれa回,b回とすると,aをbで割ったときの余りは12でした。このとき,今月の参加者数とaの値をそれぞれ求めなさい。


⑴ 3通りの解き方でやってみましょう。
㋐ 6人がそれぞれ他の5人と握手しますから,5×6=30回となりますが,この中には例えばAがBと握手するものとBがAと握手するものが重複して数えられていますから,答えは30÷2=15(回)ですね。
㋑ 握手をする2人を6人から選ぶ組み合わせと考えて6C2=(6×5)/(2×1)=15(回)と求めることもできますね。
㋒ 参加者をA,B,C,D,E,Fとします。AはB,C,D,E,Fの5人と,BはC,D,E,Fの4人と,CはD,E,Fの3人と,DはE,Fの2人と,EはF1人とそれぞれ握手すると考えると,5+4+3+2+1=15回となります。

⑵ ㋐の考え方を使ってみましょう。
□人が参加したとして,握手の回数が308の倍数であることも考えると,□×(□-1)÷2=308×▲と書けます。
これは□×(□-1)=616×▲とできますね。
つまり,616×▲は連続する2つの整数の積にできるということです。
ここで616を素数の積で表してみると,616=2×2×2×7×11ですから,616×▲=2×2×2×7×11×▲ですね。
2,2,2,7,11,▲を2つのグループに分けて,それぞれの積が連続する2数になればよいのです。
グループの作り方は何通りも考えられますが,答えが最小の数を求めることも考慮しましょう。
連続する2数なので,必ず奇数と偶数になります。ところがグループに2が入れば偶数になってしまいますね。
ということは,2は片方にまとめることになります。
2つのグループは(2×2×2×▲)と(7×11),(2×2×2×7)と(11×▲),(2×2×2×11)と(7×▲)の3つを調べるといいですね。
(2×2×2×▲)と(7×11)…7×11=77なので,2×2×2×▲は76か78にならないといけませんが,これは無理。
(2×2×2×7)と(11×▲)…2×2×2×7=56なので,11×▲は55か57にならないといけません。▲=5で55ができます。
(2×2×2×11)と(7×▲)…2×2×2×11=88なので,7×▲は87か89にならないといけませんが,これは無理。
よって▲は5で,このとき□は56となります。つまり,この月の参加者は一番少ない場合56人となります。

⑶ ⑴の㋒の考え方を使ってみましょう。
例えば参加者数が5人の場合は,握手の回数は4+3+2+1=10回,
参加者数が2倍の10人の場合は9+8+7+6+5+4+3+2+1=45回となります。
これを次のように図で表してみます。
駒場東邦1
このとき,次の図3,図4のようにすると,図1と同じものが図2の中に4個入るのが分かります。
駒場東邦2
図4の個数÷図3の個数=4余り5個(余りは図4でで表しています。)
この余りの数が図3のときの人数と同じになっていることが分かります。
この問題では余りが12となっていますので,先月の参加者数が12人と分かります。
よって今月の参加者数は12×2=24人
このときの握手の回数aは24×23÷2=276となります。

⑶はけっこう手ごわい問題ではなないかと思います。
そして,解説したようなやり方が,入試本番ではなかなか思い浮かばないものです。
そこで,参加者数が2人のときから順に回数を求めて,何か規則的なことを見つけるという方法ももちろん有効です。むしろ,書き出してでも正解にたどり着こうとする執念も合格のためには必要ではないでしょうか。(道)
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