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2014(H26)入試分析 算数 海陽中等教育学校:特別給費

2014.03.02 13:21|入試問題分析(算数)
今回は海陽中等教育学校の特別給費生入試の問題を見てみましょう。

2011年からの入試データの推移を見ると,
受験者数:299⇒331⇒424⇒465
合格者数:27⇒30⇒30⇒35
実質倍率:11.1⇒11.0⇒14.1⇒13.3
となっており,やはり一期生が出た次の年からグッと倍率が上がっています。

算数のデータでは,
受験者平均:60.0⇒44.4⇒56.9⇒47.8
合格者平均:82.0⇒80.5⇒80.0⇒84.1
で,受験者平均に関わらず8割が合格への目標値となってきます。
この高水準での合格者平均からも,圧倒的に算数が強い子でなくてはきつい試験になっていると言えるでしょう。

今回は大問の4番を取り上げます。
(問題)H26 海陽中等教育学校:特別給費 算数 大問4番
下の図の四角形ABCFと四角形FCDEは1辺の長さが10cmの正方形,弧BDは中心C,半径10cmの半円です。
辺CFとADの交点をH,弧BDとADの交点をGとします。このとき次の問いに答えなさい。
ただし,円周率は3.14とします。
2014海陽特別給費01
(1)∠BGDは何度ですか。理由をつけて答えなさい。
(2)長さの比AG:GHをできるだけ簡単な整数の比で答えなさい。
(3)斜線部の面積の和を求めなさい。


(1)まずは,おうぎ形の問題なので中心と弧上の点を結びましょう。
2014海陽特別給費02
すると,上図のように二等辺三角形が2つ現れますね。同じ大きさの角に○や△の印を入れると,
○○△△の和が180度ですから,○△で90度,よって,角BGDは90度になります。
理由の書き方は数学的な証明でびしっと書かなくても,解答欄の図に書き込みながら伝わる内容できちんと書けば
得点はもらえるでしょう。

(2)(1)で三角形BGDが直角三角形だということがわかりました。
直角三角形と言えば直角○×の記号を図に書き込みましょう。また,この図の中には定番の形も隠れていますね。
2014海陽特別給費03
三角形ABD,三角形AGB,三角形BGDはいずれも直角○×の相似の三角形です。
三角形ABDを見ると,AB:BD=1:2ですから,他の三角形でも同様の関係が成り立ちます。
つまり,AG=[1]とすると,BG=[1]×2=[2],GD=[2]×2=[4]となります。
また,HはADの中点なので,AH=[5]÷2=[2.5]ですから,GH=[2.5]-[1]=[1.5]となりますね。
よって,AG:GH=1:1.5=2:3となります。

(3)左半分の図だけで,しかもここまでの小問がなければかなりきつい問題ですが,今回はここまでの経緯がありますので
幾分取り組みやすくなっています。まず,斜線部分をどのように求めればよいかと考えると,まずは中心角90度のおうぎ形
から不要部分を引けば良さそうだということには気づきそうですね。不要部分を求めやすくするために,まずは下図の
点線の補助線を引き,△CBGと△CFGをどのように求めればよいかを考えましょう。
2014海陽特別給費05
それぞれの三角形で必要な高さを書き込むと,赤や青で囲まれた相似が浮かび上がります。
△CFG(底辺FC)の高さは赤の相似(相似比2:3)を利用して,10×3/5=6cm,よって,面積は10×6÷2=30cm^2です。
△CBG(底辺BC)の高さは青の相似(相似比5:4)を利用して,10×4/5=8cm,よって,面積は10×8÷2=40cm^2です。
求める面積は10×10×3.14÷4-40-30=8.5cm^2となりますね。

*****
※△GBDの中に先ほど(2)で見た図と同じような形を見つけても解くことができます。
⑤=20cmですから,①=4cm,②=8cmとなり,△CBGは高さ8cm,△CFGは高さ10-4=6cmです。
2014海陽特別給費04
*****

おそらく,直線GCやおうぎ形の弧が邪魔になって(2)の時点で直角三角形の相似に気付きにくい子が多いのでしょうが,
ちょっとでも気づく可能性を上げるためには,やはり基本に忠実に直角○×を書き込まなくてはいけません。
ややこしい問題ほど,基本に忠実にです。(池)
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テーマ:中学受験
ジャンル:学校・教育

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