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2014(H26)入試分析 算数 武蔵中学校

2014.03.10 18:30|入試問題分析(算数)
募集定員160名で,ここ3年の出願者数は 525名→443名→569名,受験者数は 517名→433名→556名,
合格者数は 183名→177名→177名となっており,実質倍率は 2.8倍→2.4倍→3.1倍
と推移しています。昨年度が若干易しめだったのが,反動で今年はかなり厳しくなったという印象です。

合格最低点ですが,算国各100点,理社各60点の320点満点で,204点→146点→192点となっています。
また,教科別平均点ですが,受験者平均,合格者平均の順に
国語は100点中 57.5点,65.8点,
算数は100点中 46.9点,67.1点,
理科は60点中 36.8点,41.8点,
社会は60点中 32.2点,35.9点
でした。
合格最低点がちょうど6割であることを考えると,算数で65点は取っておきたいところです。
その算数ですが,大問は4問,小問は12問。超のつく難問や奇問の類はなく,総じて比較的素直な問題だったという印象です。
ただ,大問3の平面図形と比では長方形の内部のひし形が長方形の面積の2分の1という条件がうまく利用できないと全滅の恐れがあります。また,あとで取り上げるように,大問4は条件をきちんと読み取ることができれば4問中3問は確保できそうですが,大問3からの流れで気持ちが焦って落ち着いて取り組めないと,単純ミスをしてしまいそうです。ここはじっくりと取り組める心の余裕が要求されます。

それでは大問4を説明します。
(問題)H26 武蔵中学校 算数 大問4番
左の図のように,半径1cmの円の周を6等分する位置に1から6までの番号がついています。
武蔵2014 401

Aを7以上100以下の整数とします。Aの6以下の約数の位置に点を打ちます。3以上の点が打たれたときは,これらを順に結んで多角形を作ります。例えば,A=7,A=8,A=9,A=12のときは図1のようになります。
武蔵2014 402
武蔵2014 403

次の問に答えなさい。
⑴ 図2となるようなAはありません。その理由を書きなさい。
⑵ 図3となるようなAをすべて求めなさい。
⑶ 打たれた点が1つだけとなるAのうち,素数でないものをすべて求めなさい。
⑷ できた多角形の面積が,1辺の長さ1cmの正三角形の面積の3倍に等しくなるようなAをすべて求めなさい。


⑴ この図2が表すのは,Aの6以下の約数が1,2,3,5だということです。
ところが,2と3が約数にあるということは2でも3でも割り切れる数だということですから,2×3=6で割り切れないといけません。つまり,6が必ず約数になっていないといけないということです。
⑵ 図3を見ると,1,2,4,5がAの約数になっているが,3,6は約数ではありません。
つまり,1,2,4,5の倍数になっている数で,3,6の倍数ではない数をさがせばいいのです。
1,2,4,5の最小公倍数は20ですから20の倍数20,40,60,80,100のうち6の倍数である60は除きます。
したがって答えは,20,40,80,100の4個です。
⑶ 1はすべての整数の約数になっていますから,打たれた1個の点は1です。ですから,Aは2,3,4,5,6の倍数ではなく,7以上の素数(7,11,13,15,・・・)を2つ以上約数に持つ数ということになります。
7×□,11×□,13×□,…で□には7以上の素数が入ります。
100以下でこれを探すので,該当するのは,7×7=49,7×11=77,7×13=91の3個ですね。         
⑷ 1辺1cmの正三角形は次の図4の㋐の三角形ですが,㋑もこれと同じ面積の三角形になります。
武蔵2014 404
そこで,㋐や㋑を3個使ってできる多角形を考えます。
これは次の図5のように,等脚台形と正三角形の2通りあります。
武蔵2014 405
どちらの場合も頂点に1が入らないといけませんから,次の㋒~㋖の5通りについて考えればいいですね。
武蔵2014 406
㋒…⑴で見たように,6の倍数なのに2や3の倍数ではないということはあり得ません。
㋓…6の倍数だが5や4の倍数ではないということですから,18,42,54,66,78がこれに当たります。
㋔…6の倍数なのに3の倍数ではないということはあり得ません。
㋕…⑴で見たように,6の倍数なのに2や3の倍数ではないということはあり得ません。
㋖…15の倍数のうち2や4や6の倍数ではないものを考えればいいので,15,45,75があります。
ですから答えを小さい順に書くと,15,18,42,45,54,66,75,78の8個です。

設定が一見複雑に見えますが,よく考えると倍数の問題に帰着します。見かけがややこしくても,よくよく突き詰めれば自分の知識やこれまでの経験の範囲内で十分対処できるというような問題は,入試ではごく普通に出題されます。大切なことは,問題を見て焦らない,舞い上がらないで,丁寧に一つずつ考えを進めていくことです。必ず突破口は見つかりますから,落ち着いて対処しましょうね。(道)
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テーマ:中学受験
ジャンル:学校・教育

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Comment

解説ありがとう

子供に教えようと43の親父が解いてみたら この4番目が一番難しく 解説が判りやすくて助かりました。

No title

>くろさきさん
ブログを放置し過ぎてコメントが遅れました・・・
すみませんm(_ _)m

解説を載せるのは色々な意味でハイリスクなので,
くろさきさんのようなコメントを頂けることが
何よりも励みになります。

ありがとうございます。
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