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算数・数学 マメ知識No.6(倍数判定法)

2010.04.07 22:23|マメ知識集
倍数判定法というのがありますね。
2の倍数→1の位が0か2の倍数
3の倍数→各位の和が3の倍数…

とかいう例のやつです。
今日はちょっと変わったところで,999の倍数判定法というのを見てみましょう。

灘中学 平成15年 第1日 7番
6けたの整数5ABC15が999の倍数となるとき,3けたの整数ABCは□である。


この問題,ゴリゴリと虫食い算でやっても,そんなに苦労せずに解けますが,999の倍数判定法を知っていればあっさりと答えが「844」と出せちゃいます。
999の倍数判定法は次のようになります。
「下の位から3桁ごとに区切ってそれらの和を求め,その和が999の倍数」

例えば6桁の整数「アイウエオカ」で考えてみましょう。これでアイウ+エオカが999の倍数になれば,アイウエオカが999の倍数になることを示します。
アイウエオカは3桁の整数アイウの1000倍にエオカを足したものですので,以下のように表せます。

アイウエオカ
=1000×アイウ+エオカ
=(999+1)×アイウ+エオカ
999×アイウアイウ+エオカ

999×アイウは明らかに999の倍数なので,残りの(アイウ+エオカ)の部分が999の倍数になれば,元の整数アイウエオカ自体が999の倍数となりますね?

ということは,この問題,5AB+C15が999の倍数になればいいのです。
2つの3桁の整数の和が999×2=1998になるのは,999+999しか考えられませんから,この問題の場合はありえないですね。
つまり,5AB+C15=999となるので,A=8,B=4,C=4で,ABC=844です。

これの応用で,9,99,9999…の倍数判定法,11,101,1001…の倍数判定法なども考えてみましょう!
それができればこれも楽勝!

灘中学 平成14年 第1日 2番
6けたの整数123ABCが7でも11でも13でも割り切れるとき,下3けたの整数ABCは□である。
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