算数・数学 マメ知識No.6(倍数判定法)

倍数判定法というのがありますね。
2の倍数→1の位が0か2の倍数
3の倍数→各位の和が3の倍数…
とかいう例のやつです。
今日はちょっと変わったところで，999の倍数判定法というのを見てみましょう。

灘中学　平成15年　第1日　7番
6けたの整数5ABC15が999の倍数となるとき，3けたの整数ABCは□である。

この問題，ゴリゴリと虫食い算でやっても，そんなに苦労せずに解けますが，999の倍数判定法を知っていればあっさりと答えが「844」と出せちゃいます。
999の倍数判定法は次のようになります。
「下の位から3桁ごとに区切ってそれらの和を求め，その和が999の倍数」

例えば6桁の整数「アイウエオカ」で考えてみましょう。これでアイウ＋エオカが999の倍数になれば，アイウエオカが999の倍数になることを示します。
アイウエオカは3桁の整数アイウの1000倍にエオカを足したものですので，以下のように表せます。

アイウエオカ
＝1000×アイウ＋エオカ
＝(999＋1)×アイウ＋エオカ
＝999×アイウ＋アイウ＋エオカ

999×アイウは明らかに999の倍数なので，残りの(アイウ＋エオカ)の部分が999の倍数になれば，元の整数アイウエオカ自体が999の倍数となりますね？

ということは，この問題，5AB＋C15が999の倍数になればいいのです。
2つの3桁の整数の和が999×2＝1998になるのは，999＋999しか考えられませんから，この問題の場合はありえないですね。
つまり，5AB+C15＝999となるので，A＝8，B＝4，C＝4で，ABC＝844です。

これの応用で，9，99，9999…の倍数判定法，11，101，1001…の倍数判定法なども考えてみましょう！
それができればこれも楽勝！

灘中学　平成14年　第1日　2番
6けたの整数123ABCが7でも11でも13でも割り切れるとき，下3けたの整数ABCは□である。