2015(H27)入試分析 算数 洛南高等学校附属中学校

2015.02.02 14:56|入試問題分析(算数)
 さて,今回は洛南高等学校附属中学校の算数から1問取り上げます。

問題数は大問8問と小問30問。例年通りの1問5点の均等配点です。
去年はかなり難易度も高く,精神的にも削られる問題となりましたが,
今年はかなり取り組みやすかったのではないかと思います。
大問2の小問群を落ち着いて乗り越えることができれば,
大問3で見慣れた金貨と台はかりの問題,
大問4で例年の洛南に比べて難易度がぐっと下がった速さの問題ときますので,
かなり心に余裕ができたのではないでしょうか。
(「速さ嫌い嫌い病」にかかっている人はぱっと見の文章の長さから
 例年との難易度のちがいに気付かず,飛ばして先に進んだかもしれませんね…)
5番は心に余裕のある状態で考えるとキーポイントに気付く可能性も上がります。
6番は似たような図形の問題(正方形,円,正方形で面積を求める問題ですが)の解法で
「回転させて考える」というのがありますので,取り組みやすかったのではないでしょうか。
7番もていねいに図を描けば十分に対処可能です。(親切に作図スペースまであり!)
8番は(1)(2)をしっかり取ればまずよし。(3)を取れば他の人に差をつけることができます。

では,今回は一部から要望のあった6番の問題を取り上げてみましょう。
(問題)H27 洛南高等学校附属中学校・算数 大問6番
図のように,中心が点Oである円(あ)があり,(あ)の円周の上にすべての頂点がある正方形[い]があります。
また,[い]の4辺と接し,中心がOである円(う)があります。
(あ),[い]はOを中心に時計回りに回転し,(う)はOを中心に時計と反時計回りに回転します。
そして,1周するのに(あ)は4分,[い]は2分,(う)は3分かかります。
初め,図のように,(あ)の上の点Pと[い]の頂点Aが重なっています。
また,[い]の1つの辺のまん中の点Bと(う)の上の点Qが重なっています。
(あ),[い],(う)が同時に回転し始めたとき,次の問いに答えなさい。
2015洛南6番
(1)回転し始めてから何分何秒後に,初めてBとQが重なりますか。
(2)回転し始めてから何分後に,初めてPとA,BとQが同時に重なりますか。
(3)O,P,Qが27回目に一直線上に並ぶのは,回転し始めてから何分何秒後ですか。

円2個と正方形が「回転」する問題です。
問題文の途中で「1周するのに」とあるので,点が動くのかなと勘違いした子がいるかもしれませんね。

とりあえずは,各図形が回転する角速度を出します。
(あ)は360÷240=1.5度/秒で時計回り,
[い]は360÷120=3度/秒で時計回り,
(う)は360÷180=2度/秒で反時計回りとなります。

(1)Bは[い]に乗っているので3度/秒で時計回り,Qは(う)に乗っているので360÷180=2度/秒で反時計回りになります。
逆方向に動いているので360度の出会いですね。
360÷(3+2)=72秒後 ⇒ 1分12秒後となります。

(2)Pは(あ)に乗っているので1.5度/秒で時計回り,Aは[い]に乗っているので360÷120=3度/秒で時計回りになります。
同じ方向に動いているので360度の追いつきですね。
360÷(3-1.5)=240秒ごとにPとAは重なります。
BとQは(1)より,72秒ごとに重なりますから,両方同時に重なるのはL.C.M.の720秒後=12分後ということになります。

(3)「一直線上に並ぶ=Oから見てPとQが同じ方向に来る」と考えてしまった人は残念!
実はそれ以外に「OをはさんでPとQが反対方向に来る」場合も一直線上に並びます。
つまり,スタート時点ではPとQは45度離れていますが,
・初めて一直線上に並ぶのが同じ方向に来る場合
・次に一直線上に並ぶのが反対方向に来る場合
・それ以降は同じ方向,反対方向,同じ方向,反対方向,・・・・・・の交互
ということになります。
最初は45÷(1.5+2)=90/7秒後,
その後は180÷(1.5+2)=360/7秒ごとになりますから,
90/7+(360/7)×(27-1)=1350秒後 ⇒ 22分30秒となります。

3つ以上のものが動く問題では1つのものを止めたりというのが定番の解法ですが,
今回は止めない方がやりやすそうですね。
「こう考えると簡単に解ける」というような方法がある場合も,「地道に解くならこういうやり方になるなぁ」
という風にちらっと考えるようにしておくと,その方法にハマらない問題が出た場合にも
対応しやすくなりますね。なかなかそのような時間や余裕はないかもしれませんが,意識してみましょう。(池)
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