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2015(H27)入試分析 算数 西大和学園中学校(男子)

2015.02.03 14:31|入試問題分析(算数)
今回は西大和学園(男子日程)の問題を扱います。

各教科の得点情報に目をやると,
国語(150点満点):受験者平均98.1点,合格者平均109.5点
算数(150点満点):受験者平均90.4点,合格者平均107.0点
理科(100点満点):受験者平均61.6点,合格者平均71.5点
社会(100点満点):受験者平均64.6点,合格者平均70.0点
となっています。

受験者平均が6割~6割5分,合格者平均が7割~7割5分の中にほぼ収まっており,
得意教科,不得意教科での差が比較的出にくかったのではないでしょうか。

とはいえ,国算が150点満点なので,この2教科の得意不得意は理社の1.5倍の
影響力があります。稼げないまでも,差をつけられないところまでは持っていきたいですね。

では,問題を見てみます。
1番,2番は小問群ですが,焦っている状況ですから,1番(6)のようにしっかりと自分の考えているパターンを
場合分けし,整理していかないといけないような問題はミスも多発したかと思われます。
「冷静に考えられていないなぁ」と自分で感じたら飛ばすことも重要ですね。
(冷静でなくなったときにどう対処するか,普段の模試などで意識しておかなくてはいけません。)

3番は(2)で問題文の意味をどうとるかで答えが変わりそうですが,ここは各人の思った読み方でよいでしょう。
(どちらか一方に点が入るか,両方に点が入るかはわかりませんが,学校の判断ですので,
テスト中にそんなことを気にしても意味がありません。)

で,今回は4番を取り上げたいと思います。
(問題)H27 西大和学園中学校(男子)・算数 大問4番
連続する4個の整数を小さい順に上から下へ一列に並べて,一番上の数字は,その数を11
で割ったときの余りの数に書きかえ,上から二番目の数字はその数を7で割ったときの余り
の数に,上から三番目の数字はその数を6で割ったときのあまりの数に,最も下の数字は
その数を5で割ったときのあまりの数に書きかえます。次の問いに答えなさい。ただし,連続
する4個の整数は全て0以上の整数とします。
(1)書きかえられた4個の数字が,それぞれ元の数字とまったく変わらないとき,元の連続
する4個の整数の一番上の数字について,考えられるもっとも大きい数を求めなさい。
(2)書きかえられた4個の数字のうち上から1番目と2番目が2個とも0になるとき,
元の連続する4個の整数の一番上の数字について,考えられるもっとも小さい数を求めなさい。
(3)書きかえられた4個の数字がすべて0になるとき,元の連続する4個の整数の一番上の
数字について,考えられるもっとも小さい数を求めなさい。
(4)書きかえられた4個の数字でもっとも大きな数字が一番上の数字となり。そのあと
上から下へひとつずつ小さくなる連続する整数となりました。このとき元の連続する4個の
整数の一番上の数字について,考えられるもっとも小さい数を求めなさい。

問題文の「数字」と「数」の表記が混在しているのが気になります。まぁ,それはさておき・・・
(1)元の4個の整数のうち,一番小さいものを○として実際の計算を書いてみると,次のようになります。
÷11=●…
(○+1)÷7=▲…(○+1)
(○+2)÷6=■…(○+2)
(○+3)÷5=★…(○+3)
赤字が元の数,青字が書きかえられた数です。
余りは割る数以上になることはないので,4つ目の式より,○は最大でも1だということが分かりますね。

(2)とりあえずは先ほどと同様に式に表してみましょう。
÷11=●…0
(○+1)÷7=▲…0
ですから,
=11×●
(○+1)=7×▲
と表せます。
つまり,7×▲-11×●=1を満たす,(▲,●)の組み合わせを考えればよいですね。
●を1から順に入れていくと,(8,5)が一番最初に出てくる組み合わせですから,
○=11×5=55となります。

(3)またまた式に表してみましょう。
÷11=●…0
(○+1)÷7=▲…0
(○+2)÷6=■…0
(○+3)÷5=★…0
(2)の時点で,上の2つの式を満たす最小の○が55ということが分かっていますから,(3)の条件を満たす○は
55+77の倍数ということが大前提となります。(77は11と7の最小公倍数)
元の4つの数が55,56,57,58だと3つ目と4つ目の式が満たされませんので,次の候補を見ると,
132,133,134,135となり,4つ目の式が余り0になりました。
次はここから11と7と5の最小公倍数の385ずつ増やしていけばよいですね。
134(6で割った余りは2)+385(6で割った余りは1)×□=(6で割った余りは0)
となればよいですから,□には4を入れて
134+385×4=1674が3番目の数,1番目の数は1672となります。

(4)最後も式にしてみましょう。
÷11=●…
(○+1)÷7=▲…(◎-1)
(○+2)÷6=■…(◎-2)
(○+3)÷5=★…(◎-3)
まず,この時点で◎は最大で7,最小で3ということは押さえておきましょう。
わられる数もバラバラ,余りもバラバラで,これでは手がつけにくいので,(3)のように余りを0にそろえてみます。
(○-◎)÷11=●…0
(○-◎+2)÷7=▲…0
(○-◎+4)÷6=■…0
(○-◎+6)÷5=★…0
あとは,先ほどまでの手順にならって進めます。
・7×▲-11×●=2を満たす,(▲,●)の組み合わせは,●を1から順に入れていくと,
(5,3)が一番最初に出てくる組み合わせですから,○-◎=33となります。
・33,35,37,39だと3つ目と4つ目の式が満たされませんので,次の候補を見ると,
110,112,114,116となり,3つ目の式が余り0になりました。
あとはここから11と7と6の最小公倍数の462ずつ増やしていけばよいですね。
116(5で割った余りは1)+462(5で割った余りは2)×□=(5で割った余りは0)
となればよいですから,□には2を入れて
116+462×2=1040が4番目の数,1番目の数(○-◎)は1034となります。
◎は最小で3なので,○の最小は1034+3=1037ですね。

最初この問題を解いたとき,「なんじゃこのめんどくさい問題・・・」というのが感想でしたが,
時間を置いて,「小問が並んでいるときはその流れで考える」の基本に立ち返れば
意外とすんなり行けたという感じです。
(4)がいきなり解ける必要は全くありません。大問内での流れに乗るように解いていきましょう。(池)
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かつての西大和学園の再来?

池田先生,いつも楽しく数理研のブログを拝見させて頂いております。

さて,H27の西大和男子ですが,初見では,数年前のえぐかったころの西大和のレベルに戻った?という印象を受けました。まぁ,【1】【2】【3】【4】ともに,簡単に取れるところをミスなく獲得すれば,合格点ぐらいは取れるという設計にはなっていますが,例を挙げると,

【1】(6)【2】(3)←一瞬飛ばしたくなる問題。
【3】(3)(4)←問題用紙の右半分に方眼用紙を与えてくれればなぁの問題。
【4】(3)(4)←地道にやってもできますが数値設定が???の問題。

なんかは,緊張感がはりつめた実際の試験場では,きわめて壊滅的な結果になったのではと予想されます。逆に,上記に挙げた問題を,うまく取捨選択して飛ばして,他の取れる問題(一度経験したことのある問題)をしっかりと得点できたかどうかで,合否が決まってしまったのではないかなぁ~というのが,分析しております。

No title

【2】(3)は楽しみながら算数の問題に取り組むような子にとっては好物ですけど,
  皆がそういうわけにはいかないんでしょうね・・・
【3】は「酷いなぁ・・・」というのが率直な感想です。
  定規を使って,しかも目盛りまでちゃんと均等につけてグラフ処理をしないと
  難しい,こういう問題は方眼を用意するのがマナーだと思うんですけどね・・・
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