2015(H27)入試分析 算数 洛星中学校（後期）
2015.03.03 15:26｜入試問題分析(算数)｜
今回は，2015年度洛星中学校の後期を取り上げます。
全受験者数284名。合格者数40名ですので，実質倍率は7.1倍と狭き門になりました。
4科・3科別でみると，4科は176名中23名合格で，7.65倍，3科は114名受験で17名合格で，6.71倍と，前期とは逆に，若干3科有利になったようです。
合格最低点は，237点/400点，算数の受験者平均は51.4点/120点でした。
それでは，問題解説です。
大問が6問で，小問数は22問（３(4)の②③，５の(1)(2)(3)それぞれ完答として数えた場合）
大問１は計算など小問3問
大問２平均算，大問３図形の規則（フラクタル図形の一種コッホ曲線），大問４が速さ（動く歩道），大問５が立体切断，大問６が数の問題というセットです。
このうち，大問1はすべて合わせて，２以降の大問は，どの問題も完璧に合わせるのが難しい場合でも，前半部分を完全に正解にするというスタンスで6割5分を確保していくというのが現実的でしょうか。
それでは，大問５を解説します。
(問題)H27 洛星中学校(後期) 算数 大問5番
1辺の長さが12cmの立方体ABCD-EFGHがあります。
(1) この立方体の側面に，図のような紙①をPがAに，QがEに重なるように巻きつけたところ，ちょうど1周してRがEに重なりました。この紙を巻きつけたまま3点C，F，Hを通る平面で立方体を切ったとき，紙①は何枚に分かれますか。また，そのうち最も大きい紙の面積を求めなさい。
(2) 立方体の側面に，図のような紙②をSがAに，TがEに重なるように巻きつけたところ，ちょうど2周してUがEに重なりました。この紙を巻きつけたまま3点C，F，Hを通る平面で立方体を切ったとき，紙②は何枚に分かれますか。また，そのうち最も大きい紙の面積を求めなさい。
(3) 紙①と同じ形の紙③を，(1)と同じように立方体に巻きつけました。この紙を巻きつけたまま辺EF，BF，BCそれぞれの真ん中の点を通る平面で立方体を切ったとき，紙③は何枚に分かれますか。また，そのうち最も大きい紙の面積を求めなさい。
立方体の側面に直角三角形を巻きつける問題です。
(1)と(3)ではちょうど1周，(2)ではちょうど2周になります。
(1) 立方体の側面の展開図に直角三角形を重ねて書きましょう。
（図1）
この図に，切断面の線を記入しましょう。
切断面の線はFCとCHを通りますから，（図１）の側面の展開図のCFとCHを結ぶと，次のようになります。
（図２）
紙①は，ア，イ，ウの3つの部分に分かれます。
紙①の面積は12×48÷2＝288cm^2
また三角形AICと三角形EIFはちょうちょ相似で，辺の比が2：3なので，三角形IFEの高さは，12×3/(2＋3)＝7.2cmより
三角形IFEの面積は，36×7.2÷2＝129.6cm^2
さらに、三角形AJCと三角形EJHもちょうちょ相似で，辺の比が2：1より，三角形EJHの高さは12×1/(2：1)＝4cmより
三角形EJHの面積は12×4÷2＝24cm^2
ですから
ア＝288－129.6＝158.4cm^2
イ＝129.6－24＝105.6cm^2
ウ＝24cm^2
となるので，もっとっも大きい面積はアの158.4cm^2となります。
(2) 紙②は立方体の側面を2周しますから，側面2つ分をつなげて書き，紙②を重ねた図を描きます。
そこに切断面のCF，CHを書き込みましょう。
（図３）
今回は，CF，CHとも2本ずつになりますね。
紙②はア，イ，ウ，エ，オの5つに分かれました。
紙②の面積は12×96÷2＝576cm^2
ここからはちょうちょ相似を利用して，
三角形KFEは，高さが12×7/(2＋7)＝28/3cmより面積は84×28/3÷2＝392cm^2
三角形LHEは，高さが12×5/(2＋5)＝60/7cmより面積は60×60/7÷2＝1800/7cm^2
三角形MFEは，高さが12×1/(1＋2)＝4cmより面積は36×4÷2＝72cm^2
三角形NHEは，高さが12×1/(1＋6)＝12/7cmより面積は12×12/7÷2＝72/7cm^2
ですから
アの面積は576－392＝184cm^2
イの面積は392－1800/7＝944/7cm^2
ウの面積は1800/7－72＝1296/7cm^2
エの面積は72－72/7＝432/7cm^2
オの面積は72/7cm^2
となります。
以上より，最大の面積はウの1296/7cm^2です。
(3) EF，BC，CDの真ん中をそれぞれO，P，Qとします。
すると切り口の線はHEの真ん中の点を通りますから，この点をRとします。（切断面は正六角形になります。）
このときの側面の展開図を描くと，次のようになりますね。
紙③はPOとQRによって3枚に分かれます。
紙③の面積は288cm^2
ここからちょうちょ型相似を利用して，
三角形SOEの高さは12×7/(7＋3)＝8.4cmなので，面積は42×8.4÷2＝176.4cm^2
三角形TREの高さは12×1/(1＋5)＝2cmなので，面積は6×2÷2＝6cm^2
ですから
アの面積は288－176.4＝111.6cm^2
イの面積は176.4－6＝170.4cm^2
ウの面積は6cm^2
となります。
以上より，最大の面積はイで170.4cm^2です。
先に，大問を完全攻略できない場合でも，大問１つ１つの前半部分は正解したいと書きました。
この大問５もそうですが，考え方は何となくわかっても，正解にたどり着くまではややこしい計算をしたり，
手間もかかるという問題がよくあります。日ごろの練習で，面倒だと思うような問題もきちんと正面から取り組んで，
得点力を上げていく努力をしてほしいと思います。（道）
全受験者数284名。合格者数40名ですので，実質倍率は7.1倍と狭き門になりました。
4科・3科別でみると，4科は176名中23名合格で，7.65倍，3科は114名受験で17名合格で，6.71倍と，前期とは逆に，若干3科有利になったようです。
合格最低点は，237点/400点，算数の受験者平均は51.4点/120点でした。
それでは，問題解説です。
大問が6問で，小問数は22問（３(4)の②③，５の(1)(2)(3)それぞれ完答として数えた場合）
大問１は計算など小問3問
大問２平均算，大問３図形の規則（フラクタル図形の一種コッホ曲線），大問４が速さ（動く歩道），大問５が立体切断，大問６が数の問題というセットです。
このうち，大問1はすべて合わせて，２以降の大問は，どの問題も完璧に合わせるのが難しい場合でも，前半部分を完全に正解にするというスタンスで6割5分を確保していくというのが現実的でしょうか。
それでは，大問５を解説します。
(問題)H27 洛星中学校(後期) 算数 大問5番
1辺の長さが12cmの立方体ABCD-EFGHがあります。
(1) この立方体の側面に，図のような紙①をPがAに，QがEに重なるように巻きつけたところ，ちょうど1周してRがEに重なりました。この紙を巻きつけたまま3点C，F，Hを通る平面で立方体を切ったとき，紙①は何枚に分かれますか。また，そのうち最も大きい紙の面積を求めなさい。
(2) 立方体の側面に，図のような紙②をSがAに，TがEに重なるように巻きつけたところ，ちょうど2周してUがEに重なりました。この紙を巻きつけたまま3点C，F，Hを通る平面で立方体を切ったとき，紙②は何枚に分かれますか。また，そのうち最も大きい紙の面積を求めなさい。
(3) 紙①と同じ形の紙③を，(1)と同じように立方体に巻きつけました。この紙を巻きつけたまま辺EF，BF，BCそれぞれの真ん中の点を通る平面で立方体を切ったとき，紙③は何枚に分かれますか。また，そのうち最も大きい紙の面積を求めなさい。
立方体の側面に直角三角形を巻きつける問題です。
(1)と(3)ではちょうど1周，(2)ではちょうど2周になります。
(1) 立方体の側面の展開図に直角三角形を重ねて書きましょう。
（図1）
この図に，切断面の線を記入しましょう。
切断面の線はFCとCHを通りますから，（図１）の側面の展開図のCFとCHを結ぶと，次のようになります。
（図２）
紙①は，ア，イ，ウの3つの部分に分かれます。
紙①の面積は12×48÷2＝288cm^2
また三角形AICと三角形EIFはちょうちょ相似で，辺の比が2：3なので，三角形IFEの高さは，12×3/(2＋3)＝7.2cmより
三角形IFEの面積は，36×7.2÷2＝129.6cm^2
さらに、三角形AJCと三角形EJHもちょうちょ相似で，辺の比が2：1より，三角形EJHの高さは12×1/(2：1)＝4cmより
三角形EJHの面積は12×4÷2＝24cm^2
ですから
ア＝288－129.6＝158.4cm^2
イ＝129.6－24＝105.6cm^2
ウ＝24cm^2
となるので，もっとっも大きい面積はアの158.4cm^2となります。
(2) 紙②は立方体の側面を2周しますから，側面2つ分をつなげて書き，紙②を重ねた図を描きます。
そこに切断面のCF，CHを書き込みましょう。
（図３）
今回は，CF，CHとも2本ずつになりますね。
紙②はア，イ，ウ，エ，オの5つに分かれました。
紙②の面積は12×96÷2＝576cm^2
ここからはちょうちょ相似を利用して，
三角形KFEは，高さが12×7/(2＋7)＝28/3cmより面積は84×28/3÷2＝392cm^2
三角形LHEは，高さが12×5/(2＋5)＝60/7cmより面積は60×60/7÷2＝1800/7cm^2
三角形MFEは，高さが12×1/(1＋2)＝4cmより面積は36×4÷2＝72cm^2
三角形NHEは，高さが12×1/(1＋6)＝12/7cmより面積は12×12/7÷2＝72/7cm^2
ですから
アの面積は576－392＝184cm^2
イの面積は392－1800/7＝944/7cm^2
ウの面積は1800/7－72＝1296/7cm^2
エの面積は72－72/7＝432/7cm^2
オの面積は72/7cm^2
となります。
以上より，最大の面積はウの1296/7cm^2です。
(3) EF，BC，CDの真ん中をそれぞれO，P，Qとします。
すると切り口の線はHEの真ん中の点を通りますから，この点をRとします。（切断面は正六角形になります。）
このときの側面の展開図を描くと，次のようになりますね。
紙③はPOとQRによって3枚に分かれます。
紙③の面積は288cm^2
ここからちょうちょ型相似を利用して，
三角形SOEの高さは12×7/(7＋3)＝8.4cmなので，面積は42×8.4÷2＝176.4cm^2
三角形TREの高さは12×1/(1＋5)＝2cmなので，面積は6×2÷2＝6cm^2
ですから
アの面積は288－176.4＝111.6cm^2
イの面積は176.4－6＝170.4cm^2
ウの面積は6cm^2
となります。
以上より，最大の面積はイで170.4cm^2です。
先に，大問を完全攻略できない場合でも，大問１つ１つの前半部分は正解したいと書きました。
この大問５もそうですが，考え方は何となくわかっても，正解にたどり着くまではややこしい計算をしたり，
手間もかかるという問題がよくあります。日ごろの練習で，面倒だと思うような問題もきちんと正面から取り組んで，
得点力を上げていく努力をしてほしいと思います。（道）
スポンサーサイト
←数理教育研究会へのHPはこちら
