麻布中学校 算数 問題 解説&入試分析★2015年(H27年)

2015.04.14 19:26|入試問題分析(算数)
今回は御三家のひとつ麻布中学です。

受験者数は895人で合格者数387人で実質倍率2.3
合格最低点は118/200の約6割となっています。

【各問寸評】
大問1は計算問題なので確実に取りましょう。
大問2は差一定の比問題です。典型なパターンですので、確実に取らなくてはいけません。
大問3は水問題ですが、正面からの図を描く練習をしっかり行っておけば十分対応できます。底面積と深さが逆比になることなどを利用しましょう。
大問4はやや複雑な問題です。ダイヤグラムを描く力が最難関の学校では問われます。
大問5は(2)までは単位分数分解をしっかり理解できていれば簡単です。(3)はわかっていることを慎重に書き出していきましょう。
大問6は少しハードルが高いですが、立体図形が苦手な子も(2)まではがんばって取り組める状態まで持っていきたいですね。今回はこの問題を解説します。


(問題)H27 麻布中学 大問6
図1のような立体を角すいといいます。
角すいの体積は
(底面の面積)×(高さ)÷3
で求めることができます。
azabu20151.jpg
図2のような4つの合同な正方形と、4つの合同な二等辺三角形を組み合わせてできた容器があり、水でいっぱいに満たされています。この容器をゆっくりと傾けて水をこぼし、三角形IGFを水平な地面にぴったり重ねたところ、容器内の水面がBとJを通りました。このとき、以下の問いに答えなさい。
azabu20152.jpg
(1) 下図は容器を正面から見た図の一部です。この図に、辺EIを表す線と容器内の水面を表す線を書きこみなさい。
azabu20153.jpg
(2) 容器の容積を求めなさい。

(3) 容器に残った水の体積を求めなさい。



(1) 麻布は方眼(正三角形など含む)を扱う問題が非常に多く、この問題もそのパターンです。

四角すいの部分は正面から見ると二等辺三角形です。
三角形EFIにおいて底辺EFの垂直二等分線上に頂点Iがくることと、
頂点Iは地面上にあることから

辺EFの垂直二等分線と地面の直線との交点がIになります。

直線EFは右に1マス、下に2マス進むので
垂直二等分線は中点のJを通り垂直な直線は、左に2マス、下に1マス進めばよいですね

そのような直線を引くと、

下図のように頂点Iの位置がわかりますね

azabu2015m0k.jpg

水面はBJを伸ばして出来上がりです。

azabu2015m1kk.jpg

(2)
容積は立方体と四角すいに分けて考えましょう。
立方体は12×12×12㎤

四角すいの体積を出すには、まず高さを出す必要があります。

高さは(1)の図のIJの長さですから、
下図の赤い合同な三角形に注目してみましょう。

azabu2015m2.jpg

IJは下に2マス、左に4マス

BFも下に2マス、左に4マスですから2つの三角形は合同、つまり、IF=BF=12cmとわかります。

容積は
12×12×12+12×12×12÷3=2304
ですね。
高さを出すには三角形IJFと赤い三角形の相似を利用して、IJ:JF=2:1、IJ=6×2=12cmとしてもよいですね。
(3)
立方体の部分に入ってる水と四角すいの部分に入ってる水に分けて計算します。

立方体の部分は三角形BJFが正方形AEFBの1/4なので
12×12×12÷4=432㎤
とわかります。

四角すいの方は、このように容器を傾けて残った水の体積を計算する問題では容器を立てて考えやすいかもしれません。
azabu2015m3.jpg

(1)の図より、水面を表す直線は辺EIの中点Kと辺EFの中点Jを通るので
azabu2015m4.jpg
水の入っていない部分は図のように中点を結んだ赤い部分になります。

これは平均の高さを利用すれば簡単に求まります。
azabu2015m5k.jpg

三角柱の底面は(1)の図で☆印をつけたところ、
底辺12cm高さ12cmの二等辺三角形の中点を結んだ1/4の部分ですから

面積は(12×12÷2)÷4=18㎤

平均の高さはKL(6cm)とJM(12cm)とEH(12cm)の平均で

(12+12+6)÷3=10cm

よって四角すいのうち、水の入っていない部分の体積は
18×10=180㎤ですから、

水の体積は

432+(12×12×12÷3-180)=828
となります。

過去問や類題演習で方眼を利用した問題の練習をしっかり積んで(2)までは確実に取れるようにしておけば差をつけられることはないでしょう。立体の得意な人は難問で頻出の「平均の高さの利用」をしっかりと頭に入れておきましょう。(畠)
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