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豊島岡女子学園中学校 算数 問題 解説&入試分析★2015年(H27年)第1回

2015.06.08 13:34|入試問題分析(算数)
今回は豊島岡女子学園中学校第1回です。

受験者数730人、合格者数243人
2015年度はサンデーショックの影響により受験者数は少なくなりました。

受験者平均は171.92/300
合格者平均は203.35/300

各教科の平均点は(受験者平均点,合格者平均点)の順で

国語(60.26,68.43)
算数(51.27,64.87)
社会(33.00,37.67)
理科(27.39,32.37)

算数の差が大きく、合格者は算数で差をつけていることがわかります。


【各問寸評】

大問1、基本的な問題で構成されているので、満点を狙いたいところです。
大問2、(1)は鶴亀算,(2)は消去算。いずれもちょいむず程度なのでしっかり取りましょう。(3)は値を調べていけば問題なくできます。(4)三角形PAEと三角形PBGが相似比が1:2なのでPA=AB=3cmとわかります。他にもいろいろな解き方が考えられる、面白い問題です。
大問3、3進法の変形版ですが、実際書いてみると規則性を見つけるのは難しくはなく点をとりたいです。
大問4、流水算でエンジンが止まるよくある問題なので練習して確実にとりたいです。
大問5、(1)は更に細かくマス目を引いて小さい三角形に分割すれば比較的簡単にいけます。(2),(3)は少し難しいので、今回はこの問題を解説します。
大問6、定番ですが,確実に解けるようになる前に諦めてしまう子が多い問題なので,がんばって理解した子に対するご褒美ですね
大問1~大問4をすべてとると合格者平均
残りの問5の(1)、大問6の(1)でもとっておけば8割いくのでかなり差をつけられます。


それでは問題を見ていきましょう。

(問題)H27 豊島岡女子学園中学第1回 大問4

下の図の正六角形ABCDEFで、点Mは辺BCの真ん中の点、点Nは辺EFの真ん中の点、点Pは辺AFの上にあります。このとき、次の各問いに答えなさい。

toshimagaoka2015mkai.jpg


(1)Pが辺AFの真ん中の点となるとき、三角形PMNの面積は正六角形ABCDEFの面積の何倍ですか。

(2)三角形PMNの面積が正六角形ABCDEFの面積の7/24倍のとき、AP:PFを求めなさい。

(3)MPとPNの長さの和が最も小さくなるとき、AP:PFを求めなさい。



[解説]
(1)
正三角形の中点を結んで四つの小正三角形に分割するようにマス目を引くと考えやすくなることがあります。
小正三角形1個を[1]と書くことにします。

toshima2015kaikai1.jpg


この六角形は[24]になります。

そして三角形PMNは[3]と、[1]の半分が6個なので
3+6÷2=[6]となります。

したがって6/24=1/4で
1/4倍となります。


(2)
Pは辺AF上なので
三角形AMNと三角形FMNについて考えてみます。

tosimagaoka2015kaikaitou2kaka2.jpg




三角形ANMは[8]

三角形FMNは[4]


六角形は[24]なので、7/24倍ということは[7]になればよいですね。

と言うことは、AP:PF=(8-7):(7-4)=1:3となります。


(3)
長さの和が最小ということは対称移動して直線との交点を考えたらよいですね。

直線APについてNを対称移動させて点N'をうちます。

そして直線MN'とAFとの交点がPとなります。

tosimagaoka2015kaikaitou3.jpg

図の青色で囲んだ三角形の相似比は3:1より

AP:PF=(4+3):1
=7:1

とわかります。


正六角形の問題は正三角形方眼を使うと、高さの比や、相似を見つけやすくなります。

方眼を描くと平行線がたくさん出てきますので、それを利用した相似を意識するようにしましょう。(畠)
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