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渋谷教育学園幕張中学校 算数 問題 解説&入試分析★2015年(H27年)一次

2015.06.19 16:39|入試問題分析(算数)
今回は渋谷教育学園幕張中学校の一次です。
東京大学への合格者数が2015年度で56人と、ここ20年で大きく伸ばしてきた人気校です。

2015年度は
受験者、男子1244人、女子518人、計1762人
合格者、男子567人、女子176人、計743人
倍率は2.4となっています。

各教科の平均点は(受験者平均点,合格者平均点)の順で
国語(62.8,69.8)
算数(34.4,44.5)
社会(42.7,47.1)
理科(29.1,35.0)
合格最低点が176/350

算数としては合格者平均点は44.5点と低いですが、受験者平均と比べるとやはり算数の出来は合否への影響力が比較的高いです。

【各問寸評】
大問1、(1)(2)とも、どれが和でどれが差かを偶奇なども考えて見極める問題です。(1)はしっかり取りたいですね。
大問2、場合の数の問題で、今回はこの問題を扱います。
大問3、面積と速さの問題です。(1)がしっかり取れたら十分だと思います。
大問4、図形問題です。(1)(2)とも、直角三角形に正方形が入った、本当によく見るタイプの問題です。(1)は取れなければ話になりません。(2)が取れるかどうかで合否はわかれると思われます。
大問5、(1)はまだ何とかなりますが、(2)は恐らく無理です。4つはトリキューブと言って8ピース、5つはペンタキューブと言って29ピースあることが知られていますが、最高得点84点ということから考えても、その場で考えて正解にたどり着いた人はほとんどいなかったと思われます。

それでは問題を見ていきましょう。


(問題)H27 渋谷教育学園幕張中学校 一次 大問2

図1のように、6つの座席①,②,…,⑥と「待機場所」があり、座席にA,B,C,D,E,Fの6人が座っています。次のような【約束】で移動を繰り返して席がえをします。ただし、席がえ後、もとの座席と同じ座席に座っている人がいてもよいことにします。
sibumaku2015m1.jpg
【約束】
・座席または「待機場所」のうち、空いてるところへ1人移動します。
・同じ人が続けて移動することはできません。
なお、移動の回数を数えるときは、「待機場所」への移動も「待機場所」から空いた座席への移動もそれぞれ1回と数えることにします。
次の各問いに答えなさい。
(1)図1の座席から、次の図2の座席に席がえをするためには、最も少なくて何回の移動が必要ですか。
sibumaku2015m2.jpg
(2)図1の座席から、ちょうど4回の移動で席がえが終わりました。考えられる新しい座席は何通りですか。
(3)図1の座席から席がえが終わるまで、移動の回数が最も少なくなる場合で6回になるような新しい座席は何通り考えられますか。


[解説]
(1)まず、図1の状態から
「AをFの場所へ/FをDの場所へ/DをAの場所へ」という移動と、
「BをCの場所へ/CをEの場所へ/EをBの場所へ」という移動
の2つの移動サイクルを行えば図2の状態になることを押さえてください。
sibumaku2015k.jpg
それでは、1つ目のサイクルについて考えてみます。
例えば、A→D→F→Aの順番で、それぞれを空いてる場所に移動していくと、ぞれぞれ図2の席に移ります。
sibumaku2015saikuru.jpg
これは単純化すると上図のサイクルにおいて空いてる場所に移動していくことになります。
待機場所がAとFの間であっても、DとAの間にあっても、FとDの間にあっても、いずれにしても4回の移動でそれぞれ図2の席に移ります。
2つ目のサイクルに関しても同様に4回で戻りますので
4+4=8回となります。


(2)(1)の説明で、3つの文字数からなるサイクルが目的の位置に移るには、4回の移動が必要と言うことがわかりました。
この時点で『文字数+1=移動完了までの移動回数』ということをつかまなくてはいけません。
それを押さえたうえで、今回は4回の移動ということなので、4回以下の移動を必要とするサイクルの組み合わせを考えます。、

・文字数1→移動2回は待機場所に行って戻るという操作になり、【約束】に反します。
・文字数2→移動3回 …★1
・文字数3→移動4回 …★2
より、★2の「文字数3のサイクル」1つということになります。

6つの文字から3つを選ぶ方法は6C3=20通り、

例えば、選んだ3つが「A、B、C」だとすると、
下の図のような
「A⇒B⇒C⇒A」か「A⇒C⇒B⇒A」の2通りの移動方法が考えられますので、
sibumakusaikuru2.jpg
2×20=40通りとなります。


(3)6回なので
「文字数5のサイクル1つ」または「文字数2のサイクル2つ」
の2パターンが考えられます。
・文字数5のサイクル1つ
(2)と同様に考えましょう。
6つの文字から5つを選ぶ方法は6C5=6通り、
例えば選んだ文字が「A,B,C,D,E」で
「A⇒○⇒△⇒□⇒☆⇒A」の○△□☆の埋め方は
4×3×2×1=24通り考えられますので、
24×6=144通りがこちらのパターン。
<注意>
24通りのところをかく乱順列で考えて44通りとしないように注意しましょう。
例えば下図のような状態になると、
sibumaku2015kak.jpg
文字数5のサイクルが文字数2のサイクルと文字数3のサイクルに分割されてしまい、
必要な移動回数が3+4=7回となってしまいます。

・文字数2のサイクル2つ
1つ目のサイクルの選び方は6つの文字から2つを選ぶので6C2=15とおり、
2つ目のサイクルの選び方は4つの文字から2つを選ぶので4C2=6とおり、
ただし、「1つ目で(A、B)2つ目で(C、D)」と選んだ場合と「1つ目で(C、D)2つ目で(A、B)」と選んだ場合は同じなので、
15×6÷2=45通りの選び方があります。
各サイクルは「A⇒B⇒A」のような1通りしかありませんので、
1×45=45通りがこちらのパターンです。

よって、144+45=189通りが答えとなります。


場合分けして書き下していくタイプなのか、定石に落として数えるタイプなのか、一見どのように手をつけたらわかりにくい問題です。

(1)の小問を解く時点で具体的に席を移動させるなどの作業を行い、仕組みを理解していくことがその先に繋がるということを普段から意識しておくと、他の人にグッと差をつけることができます!!(畠)
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