栄光学園中学校 算数 問題 解説＆入試分析★2015年(H27年)

今回は栄光学園中学校を取り上げます。
東大へ多くの合格者を輩出する神奈川県の進学校ですが、算数の問題がかなり難しいことでも有名ですね。

受験者数は640人で合格者数278人の実質倍率2.3。

合格最低点150/240、合格者平均点163.1/240

各教科の平均点は(受験者平均点,合格者平均点)の順で
国語70点満点(37.6,42.3)
算数70点満点(40.8,47.8)
理科50点満点(34.5,38.4)
社会50点満点(32.2,34.6)

算数は7割が目標です！


【各問寸評】

大問１、pとqが互いに素な時にq,2×q,3×q,…,(p-1)×qをpで割った余りは、1,2,3,…,p-1がすべて出るという問題です。
しかしそれを知らなくても解けるので、書き下して整理するという基本的なことが大切です！
(1)は実際に実験してみて10回ですべてひっくり返り、20回で元に戻る周期性を発見すればよいですね。
(2)はどのようにひっくり返っていくか過程を見たいので、白から黒へを○、黒から白へを×として20回書き上げると
××○○×○○××○○○××○××○○×
で○が3個続くところで一番増えるなど整理の仕方を工夫しましょう！
(3)は50回目なので25回目で全て裏返ります。
すると25の約数を考えて1,5,25の3つしかないので5枚と25枚です。
(3)が少しだけ難しいですが全て正解したいです。

大問2、水量の問題です。
仕事算のようにやれば問題ないですね。
(1)(2)(3)とよく練習する問題なので確実に点数をとりましょう！

大問3、消費税の問題です。
(1)は1.08で割ればよいですが切り捨てなので9999円にならないように注意しましょう。
(2)は消費税分の8%が影響を及ぼさないときなので、1÷0.08=12.5円未満、つまり1円から12円までです。
(3)と(4)は(2)がちょっと誘導になっていて周期性に注目します！
8%の場合は2÷0.08=25円より、12円、25円、37円、50円、…で消費税が1円高くなる、変則の25円周期です。
10%は10円ごとに消費税が1円あがります。
だから(3)は1円から9円まで、13円から19円まで、25円から29円まで、38円から39円
(4)は5000円がちょうど10%と8%の差が100円なので、この5000円に(3)で求めた金額を足しても引いても100円の差はかわりません！
少し難しいですが、(3)まではとりたいですね。

大問4、(1)(2)を今回解説します。
(3)ポイントは2つ。①「12等分ではイチゴあり・イチゴなしが交互なので、13等分以上は2個以上連続でイチゴが乗っていない部分ができるはず。」②「イチゴの24°よりは小さくできない」です。
①より、中心角は36÷2=18°以下でないといけないので、360°÷18°=20等分以上でないといけないのですが、②より、360÷24°=15等分よりは多くできないので、この2つを同時に満たすことはできません。」
(4)6等分ではすべてイチゴあり、12等分ではイチゴあり・イチゴなしが交互です。これを踏まえて、場合分けをすると。
・7等分以上11等分以下の場合
①2個連続でイチゴが乗っている部分ができるので、中心角は(24×2+36)÷2=42°以上でないといけません。
②ですが、イチゴなしもあるはずなので、中心角は36°以下でないといけません。
この2つを同時に満たすことはできませんね。

・5等分以下の場合
イチゴが2個乗ってるケーキが必要なので、中心角は24×2+36=84°以上でないといけません。よって、5等分(中心角72°)はアウト。
4,3,2等分は実際に線を引いてみれば切れるとわかります。
この大問4でいくらか稼げることができれば、差がつくと思います！


それでは問題を見ていきましょう。
(問題)H27 栄光学園中学校 大問4(1)(2)

図1のように底面の半径が10cmの円柱状のケーキがあります。ケーキの上には同じ形のイチゴが6個のっています。図2はこのイチゴを拡大したもので、もっともふくらんだ部分は半径1cmの円になっています。

ケーキの中心から5cmの距離(きょり)にイチゴの中心がくるように、等間隔(とうかんかく)にイチゴを置きます。上から見ると図3のように見えます。

このケーキを十分離(はな)れたところから見ます。

(1)このケーキを図3の右側の矢印の方向の真横から見たとき、イチゴの位置はどのように見えるか、(あ)～(う)から選びなさい。


(2)このケーキを様々な方向の真横から見たとき、見ることができるものを(え)～(け)から2つ選びなさい。



(3)(4)略

[解説]
(1)選択肢を見ると、端のイチゴが半径5cmの円よりも内側か、ちょうど上か、外側かを聞いています。

図3の矢印の方向から見る図は、図のように矢印に垂直な直径である赤い線に正射影をして考えましょう！

イチゴは水色の点のところに見えます。
これは半径5cmの円よりも内側で(あ)ですね。


(2)
問題の選択肢の(え),(お),(か)を見るとどれも、半径5cmの円上にイチゴがあります。

ですから、図のように2個のイチゴを通る直径である赤い線に、正射影して考えたらいいですね。

図の緑の相似に注目すると②=5cm、①=2.5cmですから
・端2つのイチゴは2.5-1×2=0.5cm離れている
・中にあるイチゴは5cmの半径の真ん中に位置する
ということがわかります。
つまり(か)が答えですね。


今度は(き),(く),(け)の三つです。

と、その前に…
ちょっと理科の話をしてみましょう。

皆さんはなぜ太陽が球形であるとわかるのかを考えたことはありますか？
いくつかの判断材料がありますが、黒点の動く速さが中の方にあると速く動き、端の方にあると遅く動くということから球とわかります！

さて、本題に戻ります。


例えば図のような角度から見るとイチゴが3つに見えます。「ここから少し回転させるとどう見えるか？」と考えてみましょう。


黒点の話と同じで

上の図を見ると、同じ角度だけ回転しても、正射影すると中の方ははたくさん動きますが、端はあまり動かないことがわかります。

よって端のイチゴのずれが小さく、中のイチゴのずれが大きい(き)が答えですね！


※注意
(き),(く),(け)も全て中心から5cmのところにイチゴが見えているので、厳密には(き)も違います。
しかしそれでは答えが1つになるので、きっと(き),(く),(け)は端のイチゴを中寄りに書いてこの中から選ばせたかったのだと思います。


着眼点が斬新な問題ですね。栄光の算数は多様な切り口で攻めてきますので、たくさんの問題にあたって経験豊富な栄光生を目指しましょう！(畠)