2016(H28)入試分析 算数 甲陽学院中学校(2日目)

2016.01.26 14:59|入試問題分析(算数)
甲陽の第2日です。

第1日のときにも書きましたが、算数第2日の受験者平均は100点満点で47.5点。
合格者平均は、2日間の合計で119.0点。
やはり6割を押さえたいですね。

第2日の問題セットは
大問1 数に関する小問2題
大問2 立体図形と図形の移動
大問3 整数の性質
大問4 平面図形と比
大問5 場合の数(立体図形絡み)+立体図形
大問6 時計算(狂った時計の問題)

確実に6割を確保しようと思えば、大問1,大問2(1),大問3,大問5(1)(3),大問6(1)ぐらいは軽々こなしてほしいですし、今回解説する大問4もできれば得点にしていきたいところです。

(問題)H28 甲陽学院中学校 算数(第2日) 大問4番
図のように直角三角形AOBの辺OA上に点P,辺OB上に点Qがあります。OA=56cm,OB=33cm,OP=8cm,OQ=6cmです。さらに,辺AB上に点Cをとり,OCとPQの交点をRとすると,PR=3cm,RQ=7cmとなりました。
(1) ACとCBの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
(2) CとP,CとQをそれぞれ結んでできる三角形ACPと三角形BCQの面積の比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

kouyou 2016 2-1
(1) AC:CB=三角形ACO:三角形BCOなので、この2つの面積の比を考えてみましょう。
まず図に分かっている数値を記入します。
そしてCとP,CとQを結び、四角形CPOQに注目します。
kouyou 2016 2-2

PR:RQ=3:7なので、対角線で2つに分かれた三角形CPOと三角形CQOの面積の比は3:7となりす。
三角形CPO=[3],三角形CQO=[7]とします。
AP=48cm,PO=8cmなので、AP:PO=6:1より、三角形ACP=[3]×6/1=[18]
OQ=6cm,QB=27cmなので、OQ:QB=2:9より、三角形BCQ=[7]×9/2=[31.5]
となります。
kouyou 2016 2-3


三角形ACO:三角形BCO=([3]+[18]):([7]+[31.5])=21:38.5=6:11
ですからAC:CB=6:11です。

(2) (1)より三角形ACP=[18],三角形BCQ=[31.5]なので、
三角形ACP:三角形BCQ=18:31.5=4:7ですね。

今回、(2)で求められている直線を、補助線として(1)でも利用しましたが、設問の順から、期待されている解き方は別のところにあるようです。
以下のような別解も紹介しておきましょう。

〔(1)の別解〕
図のようにAとR、BとRを結び、またPR:RQ=3:7なので三角形PORと三角形QORの面積の比も3:7ですから、
三角形POR=[6]、三角形QOR=[14]とします。
kouyou 2016 2-4
AP=56-8=48cmなのでAP:PO=48:8=6:1より、三角形APR=[6]×6/1=[36]
BQ=33-6=27cmなのでBQ:QO=27:6=9:2より、三角形BRQ=[14]×9/2=[63]
kouyou 2016 2-5
よって、三角形AOR=[42]、三角形BOR=[77]なのでAC:BC=42:77=6:11となります。

今回は、2通りの方法で解法を説明しました。
この問題のように、(1)(2)が同時に求められる問題や、解き方によっては(2)が先に求められる問題が出題される場合もあります。
出題者の意図では最初から解くことを要求されているような場合でも、着眼点を変えればもっと簡単に、後ろの方から解ける場合もあります。冷静に、問題をすみからすみまでしっかり読んで、利用できそうなことは最大限利用する、そんな気持ちで臨んでほしいと思います。(道)
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