2016(H28)入試分析 算数 四天王寺中学校

2016.02.06 10:02|入試問題分析(算数)
今回は、大阪の女子校の最難関、四天王寺中学校です。

医志コースができて3回目の入試、まずは応募人数と競争率から。
2014年度 553名 (2.3倍)
2015年度 612名 (2.5倍)
2016年度 589名 (2.4倍)
ですが、これは医志コース、英数Ⅱコース、英数Ⅰコースを合算したもので、例えば昨年度だと、定員35名の医志コースを第一志望とする受験生は、全体の7割にあたる424名でしたから、その倍率は何と12倍!

医志コースを希望する受験生にとっては、非常に狭き門となっているのが現状です。

さて、肝心の算数の入試問題の話です。
大問は8つで小問が20問。
1 計算2問
 ②は多少工夫が必要ですが、きちんと押さえたい問題。
2 文章題3問
 ①整数問題、②ニュートン算 ③割合
 ②は鶴亀算がセットですが、落ち着いて処理すれば大丈夫。
3 平面図形 2問
 直角三角形型の相似を利用する問題ですが、受験生にとってはやり慣れた問題でしょう。
4 平面図形と比 2問
 ①は隣辺比。これは押さえたい所ですが、②はやや難解に感じるかも。簡単な方法がありますが、それは別の機会に。
5 速さ 2問
 円周上の点の移動ですが、何か所かの点で停止する分、ていねいに解いていかないといけません。
 少し手間のかかる問題です。
6 場合の数 4問
 3個のさいころを振ってルールに従って得点を考える問題。
 ていねいな場合分けが決め手です。
7 数表 3問
 ①②は、規則さえ分かれば力ずくでも何とかなりそう。③は少し工夫が必要です。
8 立体図形 2問
 ②の立体を回転させて体積を求める問題が、難しく感じられるかもしれませんが、実は、それほどでもありません。
 段ごとの平面を回転させてみましょう。

これらの問題で、医志コースで8割、英数Ⅱで7割、英数Ⅰで6割が合格の目安と考えられます。

今回は大問6の場合の数を取り上げます。
(問題)H28 四天王寺中学校 算数 大問6番
赤白青の3個のさいころがあります。これらのさいころを投げて,次のように得点を決めます。
☆ 3個の目の数がすべて異なるときは,いちばん大きい目の数を得点とする。
☆ 2個の目の数が同じで,残り1個の目の数がそれと異なるときは,同じ目の数の2倍を得点とする。
☆ 3個の目の数がすべて同じときは,その目の数の3倍を得点とする。

例えば,「赤の目が4,白の目が5,青の目が6」ならば6点
     「赤の目が4,白の目が4,青の目が5」ならば8点です。
次の〔  〕にあてはまる数を入れなさい。

① 3個のさいころを1回投げたとき,得点は最低〔 ア 〕点で,そのような目の出方は〔 イ 〕通りあります。また,得点が6点になる目の出方は〔 ウ 〕通りあります。

② 3個のさいころをAさんとBさんがそれぞれ1回ずつ投げたとき,Aさんの得点がBさんの得点の5倍になるような目の出方は〔 エ 〕通りあります。

赤、白、青のさいころの目を(赤,白,青)と表すことにします。
① 得点が少なくなりそうな場合を、いくつか書き出して調べてみましょう。
(1,2,3) →1番目のルールで、3点
(1,1,2) →2番目のルールで、1×2=2点
(1,1,1) →3番目のルールで、1×3=3点
どうやら得点が1点になる場合はなさそうで、ア 2点が最低点で決まりです。
そして2点になる場合は、1が2個とそれ以外が1個ですね。
(1,1,△)、(1,△,1)、(△,1,1)の3つの場合があります。
どの場合も△には2~6の5個の数を入れることができますから、5×3=イ 15通りですね。
次に得点が6点になる場合をルールごとに考えます。
1番目のルール
(6,△,□)、(△,6,□)、(△,□,6)の場合があり、それぞれ△と□には5通り、4通りの出方がありますから
5×4×3=60通りあります。
2番目のルール
6点になるのは6÷2=3が2個出たときです。
(3,3,△)、(3,△,3)、(△,3,3)の場合があり、△には3以外の5通りの出方がありますから
5×3=15通りあります。
3番目のルール
6点になるのは6÷3=2が3個出たときで、(2,2,2)の1通り
よって、60+15+1=ウ 76通りとなりますね。

② 出る得点のうち最低が2点、最高が18点ですから、この範囲でAさんとBさんの得点を考えます。
(Bさん2点,Aさん10点)の場合と、(Bさん3点,Aさん15点)の場合が考えられます。
ていねいに調べましょう。
(Bさん2点,Aさん10点)の場合
2点の出方は①より15通り
10点の出方は、(5,5,△)、(5,△,5)、(△,5,5)で15通り
よって、この場合15×15=225通りあります。
(Bさん3点,Aさん15点)の場合
3点の出方は(1,1,1)と(1,2,3)を並べ替えた3×2×1=6通りで、合わせて7通り。
15点の出方は(5,5,5)の1通り
よってこの場合、7×1=7通り
ですから、全部で225+7=エ 232通りとなります。

けっこう手間のかかる問題ですが、大切なことは、まず「調べてみる」こと。
書き出して調べるうちに、ルールが意味することがよりよく理解できるようになります。
そして次が、ていねいな「場合分け」。
①をこの手順できちんと調べ上げることができれば、実は②はそのちょっとした応用であり、手間もさほどかからないということに気づくでしょう。
計算だけで答えが求められない、今回のような地道な数え上げが必要な場合の数の問題は、四天王寺の得意とするところですから、四天王寺志望のみなさんは、こういった形式にしっかりと馴染んでおくことが大切でしょう。(道)
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