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栄光学園中学校 算数 問題解説&入試分析★2016年(H28年)

2016.05.09 20:24|入試問題分析(算数)
今回は栄光学園中学校です。
算数の問題が難しいことでも有名ですが,今年は一段ときつかったようです。

受験者数は611人で合格者数264人の実質倍率2.31倍。
合格最低点140/240、合格者平均点154/240

各教科の平均点は(受験者平均点/合格者平均点)の順で
国語70点満点(45.3/49.6)
算数70点満点(32.8/41.8)
理科50点満点(27.6/31.4)
社会50点満点(28.5/31.2)

算数は6割5分が目標です!


【各問寸評】

大問1 正方形が移動する際に,辺が通過する部分を求める問題です。
(1)は取れないといけません。
(2)も取れる問題ですが,ここでミスした人はふるい落とされるでしょう。
(3)が合否を分ける感じですね。作図を普段からしっかりとやらなければいけません。
(4)は解ける人が少ないですから,解けなくても合否には直接影響なさそうです。

大問2 ある数を和や積に分解する問題です。
(1)は取れる問題。ミスなく慎重にあわせましょう。
(2)も難易度的には取れる問題ですが,ミスや考え忘れを含めると,合否を分ける問題と言えそうです。
(3)はなかなか面白い問題です。きちんと考え方を整理できていないと,正解までたどり着くのは難しいかな。

大問3 立体の頂点の数え方に関する問題です。
今回はこの問題を扱います。

大問4 通過算(踏切通過)です。
(1)は取らなければいけません。(通過算が苦手な人は間違えそう・・・)
(2)はガクッと正解率が下がりそうですね。このあたりが合否をわけそうです。
(3)はここまでが正解していなくても単独で合わせられる問題です。今年の問題の中では一番簡単。
(4)は上りと下りの列車の重なり部分が規則的にずれていくことを利用するのですが,解ける人は少ないでしょうね。

全体的にはとてもおもしろい入試問題のセットになっていると思います。
大問4つあって,4つとも記事にしたいなぁと思うことはあまりありませんので(^^;

それでは問題を見ていきましょう。

(問題)H28 栄光学園中学校 大問3
図1のような立方体があります。(●は辺の真ん中の点)。この角をいくつか切り取った立体を考えます。
角を切るときは,その周りにある立方体の3つの辺の真ん中の点を通る平面で切り取ります。
例えば,Aの角を切り取る場合は,図2のように切り取るものとします。
2016_eiko_3_01.png
立方体の8つの角のうち,いくつかの角を切り取った立体の頂点の数を考えます。
例えば,図2のようにAの角のみ切り取った立体の頂点の数は10個です。
次の問に答えなさい。
(1) 2つの角を切り取った立体の頂点の数はいくつですか。考えられるものをすべて答えなさい。
(2) 3つの角を切り取った立体の頂点の数はいくつですか。考えられるものをすべて答えなさい。
(3) 4つの角を切り取った立体の頂点の数はいくつですか。考えられるものをすべて答えなさい。
(4) Aの角とCの角を切り取った立体から,さらに1つか2つの角を切り取ったところ,頂点の数が
  13個になる立体ができました。切り取った角の組み合わせとして考えられるものを,答え方の
  例にならってすべて答えなさい。
  答え方の例 : (B),(B,D)

まず,例で書かれている切断から考えてみます。立方体の元の頂点の個数は8個ですね。
頂点Aを切り取ることで,Aの1個分が減るかわりに,●の3個分が新たな頂点として現れました。
つまり,3-1=2個増えたので,8個→10個となったわけです。

ただ,隣の頂点が切り落とされているときは少し事情が変わります(図2の状態からBやDやEを切り取るような場合)。
1個分が減るのは変わりませんが,新たに表れる●の頂点は2個だけ。つまり2-1=1個しか増えません。
同様に考えると,隣が2個切り落とされている場合は増減なし,隣が3個切り落とされている場合は1個減少します。
ただし,切り落とす順番を決めておかないと混乱しますので,つながっている場合は端から順に切り落とすこととしましょう。
(例えば、AとBとCを切り落とす場合はA⇒B⇒CやC⇒B⇒Aの順で切り落とします。)
これらを踏まえて問題に取り組んでみましょう。

(1) 2つの頂点が隣り合っている場合,8+2+1=11個
  2つの頂点が隣り合っていない場合,8+2+2=12個
  この2通りが答えですね。

(2) 3つの頂点が順に隣り合っている場合(例えばAとBとC),8+2+1+1=12個
  2つだけ隣り合っていて,残りの1つだけ離れている場合(例えばAとBとG),8+2+1+2=13個
  3つとも隣り合っていない場合(例えばAとCとF),8+2+2+2=14個
  この3通りが答えとなります。

(3) 4つの頂点がすべて隣り合っていて,輪っか状に繋がる場合(例えばAとBとCとD),8+2+1+1+0=12個
  4つの頂点がすべて隣り合っていて,輪っか状に繋がらない場合(例えばAとBとCとG),8+2+1+1+1=13個
  3つの頂点が隣り合っていて,残りの1つだけ離れている場合(例えばAとBとCとH),8+2+1+1+2=14個
  2つの頂点が隣り合っている組が2組ある場合(例えばAとBとGとH),8+2+1+2+1=14個,先ほどと同じ個数ですね。
  4つとも隣り合っていない場合(例えばAとCとFとH),8+2+2+2+2=16個
  この4通りが答えです。
  2つだけ隣り合って,残りの2つがバラバラという,8+2+2+2+1=15個のパターンが存在しないことに注意ですね。

(4) AとCを切り取った時点で8+2+2=12個ですから,あと1個増やせばよいわけです。
 ★さらに1つだけ切り取って1個増やす場合
  隣が1個だけ切り落とされている頂点を選べばよいですね。
  EとGがこれに該当します。
 ★さらに2つ切り取って1個増やす場合
  切り取る順番によって混乱してしまいそうになりますので,アルファベット順に切り取るとルールを決めましょう。
  (B→Dと切り取るのはOK,D→Bと切り取るのはダメ。)
  残っている6つの頂点のうち,2つを切り取るだけなので,全パターン考えても6×5÷2=15通り。
  大した手間ではありません。
  ・Bを切り取ると12個のまま増減なし。
   ここから隣が1個だけ切り落とされている頂点を選べばよいですから,EとFとGがこれに該当します。
  ・Dを切り取ると12個のまま増減なし。
   ここから隣が1個だけ切り落とされている頂点を選べばよいですから,EとGとHがこれに該当します。
  ・Eを切り取ると12+1=13個。
   ここからF,G,Hのいずれを切り取っても頂点の個数は増えてしまうのでダメですね。
  よって,(E),(G),(B,E),(B,F),(B,G),(D,E),(D,G),(D,H)が答えです。
  <別解>
  (2)で考えたことを利用して,片方に隣り合って片方に隣合わない頂点
  (3)で考えたことを利用して,とりあえずはAとC両方に隣り合うBかDを選び,
  あと1個は輪っかにならないように選ぶというやり方でも良いですね。

  立体図形の単元が苦手な人にありがちなのが,見取図を与えられていて,それを見ながら実際に数え上げる
  という解き方しかできないということです。
  単純な立体の頂点・辺・面の数を数えるときは,規則正しく数えること。
  複雑な立体の頂点・辺・面の数を数えるときは,「どのようにそれらが増減しているか」や「いくつ集まってきているか」
  ということに注目して,ある程度は計算で出せるようにするということが重要です。
  答えが出ればまぁいいやという状態から脱却することが大切ですよ。(池)
  
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