2017(H29)入試分析 算数 西大和学園中学校
2017.02.19 14:04｜入試問題分析(算数)｜
今回は西大和学園中学校を見てみましょう。
まずは入試情報から。
受験者→合格者(倍率)
男子：991人→513人(1.93倍)
女子：225人→41人(5.49倍)
合格最低点が男子で324/500点，女子で374/500点ですから，男女の合格難度格差がかなり激しいですね…(;^ω^)
算数の各問題に目を向けると・・・
大問1 計算問題と小問群。(1)(2)(3)(4)①(5)(6)(8)は合わせておきたいです。(4)②(7)あたりはミスし易いので慎重に。
大問2 図形の小問群。(1)(2)は必須。(3)は解き方が色々ありますが，自分の得意な形に持ち込めるかです。
(4)は得手不得手が分かれる問題なので，できる側に入ると有利になりますね。
(5)は感覚的に正解を書けるようにしておきたいところです(当然，理詰めで解けるようにもしておきましょう)。
大問3 歯車の問題。歯車の仕組みが正しく理解できていて，長文をしっかりと整理する能力があれば，実質の難易度は
それほど高くありません。が，歯車が4つも繋がっているので，混乱しそうですね…(^^;
大問4 今回はこれを取り上げます。
では4番です。
(問題)H29 西大和学園中学校 算数 大問4
上から数を入れると，一定の割合で分ける機械A，B，C，Dがあります。(例)のようにAは1：1の比，Bは1：2の比，
Cは3：2の比に分け，Dはどのような比に分けるかわかっていません。これらの機械を組み合わせて枝分かれの道
(この道をルートと呼ぶことにします。)を作り，矢印Eから数を入れて下から出てくる数を調べます。
また，図1のように道が合わさるところでは，それぞれの道からの数の合計をとります。
このとき，次の問いに答えなさい。
(1) 図2のように，2段すべてをBとして機械を組み合わせてルート①を作りました。矢印Eから1を入れたとき，
出口「い」から出てくる数を答えなさい。
(2) 図3のように，1段目をA，2段目をB，3段目をCとして機械を組み合わせてルート②を作りました。
(ⅰ) 矢印Eから1を入れたとき，出口「あ」から出てくる数と出口「え」から出てくる数の比を最も簡単な
整数の比で答えなさい。
(「あ」から出てくる数)：(「い」から出てくる数)
(ⅱ) 最も大きな数が出てくるのは出口「あ」から「え」までの4か所のうちのどれですか。
(3) 図4のように，1段目と2段目をA，3段目をB，4段目をCとして機械を組み合わせてルート③を作りました。矢印Eから
1以上の整数を入れます。矢印Eからどんな整数を入れると出口「あ」から「お」の5か所から出てくる数がすべて整数と
なりますか。矢印Eから入れる最も小さい1以上の整数を答えなさい。
(4) (3)で作ったルート③の1段目をDに入れかえて新しくルート④を作り，ルート③とルート④の矢印Eからどちらにも
600を入れて，それぞれの出口「う」から出てきた数を調べました。すると，ルート④の方がルート③のときより5大きく
なりました。このとき，機械Dは入ってきた数をどのように分ける機会ですか。最も簡単な整数の比で答えなさい。
（Xから出てくる数)：(Yから出てくる数)
(5) A，B，Cの3つの機械を組み合わせて図5のような3段の枝分かれのルート⑤を作り，矢印Eから900を入れました。
すると，次のような結果が得られました。
・出口「あ」と出口「え」から出てきた数の比は25：36
・出口「あ」から「え」の4か所のうち，最も大きい数が出てきたのは出口「う」
・出口「い」と出口「う」から出た数の差は11で割り切れる
3つの機械をすべて1つ以上使ってルートを作っています。考えられる機械の組み合わせを答えなさい。
[解答例]1段目がA，2段目が左からA，B，3段目が左からA，B，Cとなったときは図6のように答えます。
まずは量に圧倒されてはいけません(笑)
丁寧にやれば，(2)までは絶対に正解できるはずです。
(1) まずは1段目を通過した時点で1/3と2/3に分かれます。
次は2段目の通過です。
「あ」からは1/3×1/3＝1/9が出てきます。
「う」からは2/3×2/3＝4/9が出てきます。
「い」は左からと右からの合計ですので，1/3×2/3＋2/3×1/3＝4/9が出てきます。
左端と右端は計算が楽ですが，中は合計しないといけないので計算が少し面倒ですね。
(2) まず1段目を通過した時点で1/2と1/2に分かれます。
次は2段目の通過です。
左端は1/2×1/3＝1/6，真ん中は1/2×2/3＋1/2×1/3＝3/6，右端は1/2×2/3＝2/6と分かれます。
最後に3段目の通過。
「あ」が1/6×3/5＝3/30，
「い」が1/6×2/5＋3/6×3/5＝11/30，
「う」が3/6×2/5＋2/6×3/5＝12/30，
「え」が2/6×2/5＝4/30となります。
よって，(ⅰ) 3/30：4/30＝3：4 (ⅱ) 一番大きな数が出てくるのは「う」ですね
合計が1になっているかの見直しをしやすかったり，足し算しやすかったりするので，あえて約分はしていません。
(3) (2)の解説で，計算結果が全て○/30になっていましたね。これがヒントになります。
実は約分しなかったのはこっちが狙い( *´艸｀)
Aを通るときに○/2倍，Bを通るときに○/3倍，Cを通るときに○/5倍になるので，先ほどの計算の分母は全て
2×3×5＝30になっていたわけです。
今回はどの出口も必ずA→A→B→Cの順に通過しますので，Eから1を入れた場合，出てくる数の分母は必ず
2×2×3×5＝60になるはず。つまり，Eから入れる整数が60の倍数ならばどの出口からも整数が出てきます。
この時点で最小の整数は60と予想できますね。
あとは，1を入れたときに各出口から出てくる数が約分できる場合に60よりも小さい数になる可能性があるので，
それを調べましょう。
Eから1を入れると，「あ」から出てくる数は1/2×1/2×1/3×3/5＝3/60＝1/20 約分できてしまいますね…
「お」から出てくる数は1/2×1/2×2/3×2/5＝4/60＝1/15 こちらも約分できてしまいました。
ただ，1/20をかけても1/15をかけても整数になる最小の数はやはり60なので，これを答えとすればよいですね。
(4) ここは力技でやろうとすると時間がかかりすぎますので，ひと工夫してみましょう。
まずはEから600を入れた場合に「う」から何が出てくるかを考えます。
1段目を通過した時点で300と300に分かれます。
この後，2段目3段目4段目に目を向けると，A→B→Cの順番で通っていきますよね。
これって，実は図3と同じ形なんです。つまり，左に分かれた300は赤で囲まれた枠に注目すると図3の「う」と同じ割合，
右に分かれた300は青で囲まれた枠に注目すると図3の「い」と同じ割合で数が排出されるはずですので，合わせて
300×12/30＋300×11/30＝230が出てきます。
ということは，1段目をDに入れ替えてEから600を入れると230＋5＝235が出てくるということです。
1段目を通過した時点でどのように分かれるのかはわかりませんが，例えばこれを[30]と<30>としておきましょう。
とりあえず[30]＋<30>＝600 … ①
先ほどと同じように考えると，[30]×12/30＋<30>×11/30＝[12]＋<11>＝235 … ②
この2つの式から消去算をすれば，[1]＝15，<1>＝5とわかりますので，
Dによって左と右で3：1に分けられるということです。
(5) 長かった解説もいよいよ最後です。もう一息頑張ってください。
ヒントの一つ目として，「あ」と「え」から出てきた数の比が25：36とあります。
「あ」から出てくる数はずっと左のルートを通ってきますので，
Aの場合は×1/2，Bの場合は×1/3，Cの場合は×3/5，これらを3回組み合わせて(重複することもある)排出されます。
一方「え」から出てくる数はずっと右のルートを通ってきますので，
Aの場合は×1/2，Bの場合は×2/3，Cの場合は×2/5，これらを3回組み合わせて(重複することもある)排出されます。
つまり，○×△×□×36/25＝●×▲×■(白い印は左ルート，黒い印は右ルート)となるわけです。
3つの記号の掛け算のところで，分母の2や3は約分される可能性はありますが，5は約分される可能性がないので，
左ルートよりも右ルートにCが2つ多く入っていることがわかります。
★左ルートにCが1つ，右ルートにCが3つの場合
3/5×△×□×36/25＝2/5×2/5×2/5 より，△×□＝2/27ですが，これを満たすことはできません。
★左ルートにCがなく，右ルートにCが2つの場合
〇×△×□×36/25＝●×2/5×2/5 となるので，1段目がAの場合とBの場合で調べましょう。
♥1段目がAの場合
1/2×△×□×36/25＝1/2×2/5×2/5 より，△×□＝1/9で，△＝□＝1/3の場合に成り立ちます。
♥1段目がBの場合
1/3×△×□×36/25＝2/3×2/5×2/5 より，△×□＝2/9ですが，これを満たすことはできません。
ここまでで，左ルートがA→B→B，右ルートがA→C→Cと決定しました。
あとは残りの条件から3段目の真ん中を決めるだけですので、状況整理をしておきましょう。
最後の詰めは慎重に…
★3段目真ん中がAの場合
「い」＝100＋285＝385，「う」＝285＋108＝393で，差が8なので不適。
★3段目真ん中がBの場合
「い」＝100＋190＝290，「う」＝380＋108＝488で，差が198なのでOK！
★3段目真ん中がAの場合
「い」＝100＋342＝442，「う」＝228＋108＝336で，差が106，しかも「い」の方が大きいので不適。
以上より，3段目真ん中はBと決まります。
男子なら(3)まで，女子なら(4)まで欲しいなというところでしょう。
去年は大問2の図形小問群が非常にヘビーだったのですが，今年はそれがいくらか軽減されていたので全体としては
取り組みやすかったのではないでしょうか。それだけに，最後の(5)などは無理に取り組まず，見直しに時間を回した方が
良かったかもしれませんね。(池)
まずは入試情報から。
受験者→合格者(倍率)
男子：991人→513人(1.93倍)
女子：225人→41人(5.49倍)
合格最低点が男子で324/500点，女子で374/500点ですから，男女の合格難度格差がかなり激しいですね…(;^ω^)
算数の各問題に目を向けると・・・
大問1 計算問題と小問群。(1)(2)(3)(4)①(5)(6)(8)は合わせておきたいです。(4)②(7)あたりはミスし易いので慎重に。
大問2 図形の小問群。(1)(2)は必須。(3)は解き方が色々ありますが，自分の得意な形に持ち込めるかです。
(4)は得手不得手が分かれる問題なので，できる側に入ると有利になりますね。
(5)は感覚的に正解を書けるようにしておきたいところです(当然，理詰めで解けるようにもしておきましょう)。
大問3 歯車の問題。歯車の仕組みが正しく理解できていて，長文をしっかりと整理する能力があれば，実質の難易度は
それほど高くありません。が，歯車が4つも繋がっているので，混乱しそうですね…(^^;
大問4 今回はこれを取り上げます。
では4番です。
(問題)H29 西大和学園中学校 算数 大問4
上から数を入れると，一定の割合で分ける機械A，B，C，Dがあります。(例)のようにAは1：1の比，Bは1：2の比，
Cは3：2の比に分け，Dはどのような比に分けるかわかっていません。これらの機械を組み合わせて枝分かれの道
(この道をルートと呼ぶことにします。)を作り，矢印Eから数を入れて下から出てくる数を調べます。
また，図1のように道が合わさるところでは，それぞれの道からの数の合計をとります。
このとき，次の問いに答えなさい。
(1) 図2のように，2段すべてをBとして機械を組み合わせてルート①を作りました。矢印Eから1を入れたとき，
出口「い」から出てくる数を答えなさい。
(2) 図3のように，1段目をA，2段目をB，3段目をCとして機械を組み合わせてルート②を作りました。
(ⅰ) 矢印Eから1を入れたとき，出口「あ」から出てくる数と出口「え」から出てくる数の比を最も簡単な
整数の比で答えなさい。
(「あ」から出てくる数)：(「い」から出てくる数)
(ⅱ) 最も大きな数が出てくるのは出口「あ」から「え」までの4か所のうちのどれですか。
(3) 図4のように，1段目と2段目をA，3段目をB，4段目をCとして機械を組み合わせてルート③を作りました。矢印Eから
1以上の整数を入れます。矢印Eからどんな整数を入れると出口「あ」から「お」の5か所から出てくる数がすべて整数と
なりますか。矢印Eから入れる最も小さい1以上の整数を答えなさい。
(4) (3)で作ったルート③の1段目をDに入れかえて新しくルート④を作り，ルート③とルート④の矢印Eからどちらにも
600を入れて，それぞれの出口「う」から出てきた数を調べました。すると，ルート④の方がルート③のときより5大きく
なりました。このとき，機械Dは入ってきた数をどのように分ける機会ですか。最も簡単な整数の比で答えなさい。
（Xから出てくる数)：(Yから出てくる数)
(5) A，B，Cの3つの機械を組み合わせて図5のような3段の枝分かれのルート⑤を作り，矢印Eから900を入れました。
すると，次のような結果が得られました。
・出口「あ」と出口「え」から出てきた数の比は25：36
・出口「あ」から「え」の4か所のうち，最も大きい数が出てきたのは出口「う」
・出口「い」と出口「う」から出た数の差は11で割り切れる
3つの機械をすべて1つ以上使ってルートを作っています。考えられる機械の組み合わせを答えなさい。
[解答例]1段目がA，2段目が左からA，B，3段目が左からA，B，Cとなったときは図6のように答えます。
まずは量に圧倒されてはいけません(笑)
丁寧にやれば，(2)までは絶対に正解できるはずです。
(1) まずは1段目を通過した時点で1/3と2/3に分かれます。
次は2段目の通過です。
「あ」からは1/3×1/3＝1/9が出てきます。
「う」からは2/3×2/3＝4/9が出てきます。
「い」は左からと右からの合計ですので，1/3×2/3＋2/3×1/3＝4/9が出てきます。
左端と右端は計算が楽ですが，中は合計しないといけないので計算が少し面倒ですね。
(2) まず1段目を通過した時点で1/2と1/2に分かれます。
次は2段目の通過です。
左端は1/2×1/3＝1/6，真ん中は1/2×2/3＋1/2×1/3＝3/6，右端は1/2×2/3＝2/6と分かれます。
最後に3段目の通過。
「あ」が1/6×3/5＝3/30，
「い」が1/6×2/5＋3/6×3/5＝11/30，
「う」が3/6×2/5＋2/6×3/5＝12/30，
「え」が2/6×2/5＝4/30となります。
よって，(ⅰ) 3/30：4/30＝3：4 (ⅱ) 一番大きな数が出てくるのは「う」ですね
合計が1になっているかの見直しをしやすかったり，足し算しやすかったりするので，あえて約分はしていません。
(3) (2)の解説で，計算結果が全て○/30になっていましたね。これがヒントになります。
実は約分しなかったのはこっちが狙い( *´艸｀)
Aを通るときに○/2倍，Bを通るときに○/3倍，Cを通るときに○/5倍になるので，先ほどの計算の分母は全て
2×3×5＝30になっていたわけです。
今回はどの出口も必ずA→A→B→Cの順に通過しますので，Eから1を入れた場合，出てくる数の分母は必ず
2×2×3×5＝60になるはず。つまり，Eから入れる整数が60の倍数ならばどの出口からも整数が出てきます。
この時点で最小の整数は60と予想できますね。
あとは，1を入れたときに各出口から出てくる数が約分できる場合に60よりも小さい数になる可能性があるので，
それを調べましょう。
Eから1を入れると，「あ」から出てくる数は1/2×1/2×1/3×3/5＝3/60＝1/20 約分できてしまいますね…
「お」から出てくる数は1/2×1/2×2/3×2/5＝4/60＝1/15 こちらも約分できてしまいました。
ただ，1/20をかけても1/15をかけても整数になる最小の数はやはり60なので，これを答えとすればよいですね。
(4) ここは力技でやろうとすると時間がかかりすぎますので，ひと工夫してみましょう。
まずはEから600を入れた場合に「う」から何が出てくるかを考えます。
1段目を通過した時点で300と300に分かれます。
この後，2段目3段目4段目に目を向けると，A→B→Cの順番で通っていきますよね。
これって，実は図3と同じ形なんです。つまり，左に分かれた300は赤で囲まれた枠に注目すると図3の「う」と同じ割合，
右に分かれた300は青で囲まれた枠に注目すると図3の「い」と同じ割合で数が排出されるはずですので，合わせて
300×12/30＋300×11/30＝230が出てきます。
ということは，1段目をDに入れ替えてEから600を入れると230＋5＝235が出てくるということです。
1段目を通過した時点でどのように分かれるのかはわかりませんが，例えばこれを[30]と<30>としておきましょう。
とりあえず[30]＋<30>＝600 … ①
先ほどと同じように考えると，[30]×12/30＋<30>×11/30＝[12]＋<11>＝235 … ②
この2つの式から消去算をすれば，[1]＝15，<1>＝5とわかりますので，
Dによって左と右で3：1に分けられるということです。
(5) 長かった解説もいよいよ最後です。もう一息頑張ってください。
ヒントの一つ目として，「あ」と「え」から出てきた数の比が25：36とあります。
「あ」から出てくる数はずっと左のルートを通ってきますので，
Aの場合は×1/2，Bの場合は×1/3，Cの場合は×3/5，これらを3回組み合わせて(重複することもある)排出されます。
一方「え」から出てくる数はずっと右のルートを通ってきますので，
Aの場合は×1/2，Bの場合は×2/3，Cの場合は×2/5，これらを3回組み合わせて(重複することもある)排出されます。
つまり，○×△×□×36/25＝●×▲×■(白い印は左ルート，黒い印は右ルート)となるわけです。
3つの記号の掛け算のところで，分母の2や3は約分される可能性はありますが，5は約分される可能性がないので，
左ルートよりも右ルートにCが2つ多く入っていることがわかります。
★左ルートにCが1つ，右ルートにCが3つの場合
3/5×△×□×36/25＝2/5×2/5×2/5 より，△×□＝2/27ですが，これを満たすことはできません。
★左ルートにCがなく，右ルートにCが2つの場合
〇×△×□×36/25＝●×2/5×2/5 となるので，1段目がAの場合とBの場合で調べましょう。
♥1段目がAの場合
1/2×△×□×36/25＝1/2×2/5×2/5 より，△×□＝1/9で，△＝□＝1/3の場合に成り立ちます。
♥1段目がBの場合
1/3×△×□×36/25＝2/3×2/5×2/5 より，△×□＝2/9ですが，これを満たすことはできません。
ここまでで，左ルートがA→B→B，右ルートがA→C→Cと決定しました。
あとは残りの条件から3段目の真ん中を決めるだけですので、状況整理をしておきましょう。
最後の詰めは慎重に…
★3段目真ん中がAの場合
「い」＝100＋285＝385，「う」＝285＋108＝393で，差が8なので不適。
★3段目真ん中がBの場合
「い」＝100＋190＝290，「う」＝380＋108＝488で，差が198なのでOK！
★3段目真ん中がAの場合
「い」＝100＋342＝442，「う」＝228＋108＝336で，差が106，しかも「い」の方が大きいので不適。
以上より，3段目真ん中はBと決まります。
男子なら(3)まで，女子なら(4)まで欲しいなというところでしょう。
去年は大問2の図形小問群が非常にヘビーだったのですが，今年はそれがいくらか軽減されていたので全体としては
取り組みやすかったのではないでしょうか。それだけに，最後の(5)などは無理に取り組まず，見直しに時間を回した方が
良かったかもしれませんね。(池)
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