武蔵中学校 算数 問題解説&入試分析★2017年(H29年)

2017.04.13 14:05|入試問題分析(算数)
今回は武蔵中学をとりあげたいと思います。

受験者数577 合格者数187で実質倍率3.1

教科別の平均点は(満点 合格者平均点 受験者平均点)の順に
国語(100 68.4 61.1)
算数(100 54.9 40.4)
社会(60 34.1 29.8)
理科(60 38.5 34.2)
合計(320 196.0 165.5)
合格最低点180/320

今年は算数の合格者平均点が例年より低めです。


各大問を見ていくと

大問1 ○比を利用する問題です。Bのやぎを⑮匹とおくと、Aは⑥+10匹、Cは⑳-17匹とあらわせます。Bにいるやぎが一番多いので「⑮<⑥+10」と「⑮>⑳-17」の両方を満たすような①を探しましょう。
計算も簡単なのでしっかりあわせてほしいですね。

大問2 今回はこの問題を扱います。

大問3 (1)(AとBの速さの和)×5分=1800mで求まりますね。
(2) (1)のついでにB、Cの速さも求めておきましょう。その上で,5分後から「AがBに追い抜かれる時間」と「AがCを追い抜く時間」を比較します。
(3) (2)と同様に,Aの向き変更の位置と方向を順に確認していきましょう。地道に作業をしていくだけの問題ですが,手間を考えると後回しでもよさそうです。

大問4 (1)36×37×38×39×40で36が3で2回、39が3で1回割り切れるので3回です。
(2)2枚の差は1以上になるので,3つ以上の連続する整数の積になります。3つ連続すればどれかが3の倍数なので1回は3で割り切れますね。武蔵では大問4に数学的な理由を求める問題がよくだされます。
(3)50は数字が大きい方のカードになるので
差が1は49×50×51で1点
差が2は48×49×50×51×52で2点

と書き足していって,7点となる場合を見つけましょう
(4)11が大きい方のカードの場合と11が小さい方のカードの場合の2つのパターンがあります。
11が大きい方のカードの場合は、(3)と同じように書き足していくと調べられます。
11が小さい方のカードの場合,23個の連続する整数の積となります。3の倍数は7個か8個。9の倍数は2個か3個ですから,9点にするためには「3の倍数は7個」,そのうち「9の倍数は2個」,更に「27の倍数は含まない」
この3つの条件を満たさなければいけません。残りのカードは11より大きい3の倍数のうち,27と54を23個の数の中に含まずにすむ,12、15、39、42です。

大問1完答、大問2(1)、大問3(1)(2)、大問4(1)(2)(3)までとることができたら十分だと思います。


それでは大問2です。

(問題)H29年 武蔵中学校 算数 大問2
<図1>において、2つの四角形ABCDと四角形EFGHはどちらも正方形で、AE=6cm、AF=10cmです。次の問に答えさない。(式や考え方も書きなさい)
musa17m1.jpg

(1)<図1>に正方形PQRDをかき加えてでてきたのが<図2>です。SQは何cmですか。
musa17m2.jpg

(2)<図1>に、正方形EFGHと同じ大きさの正方形IJKLをかき加えてできたのが<図3>です。図のア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、クの8つの点を頂点とする八角形の面積は何㎠ですか。

musa17m3.jpg


[解説]
(1)
musa17k1k.jpg
Qから辺AB,辺BCに垂線QN,AMを,Sから辺ABに垂線SOをおろします。
まず,QN=BC-QR,QM=AB-PQなので四角形QNBMは正方形になります。
また,三角形FBGと三角形EAFは合同であることとQM=QN=SOより四角形PAOSも四角形QNBMと合同な正方形になります。
後は青い正方形の1辺の長さがわかればSQが求まります。

musa17k2.jpg
三角形FBGで考えると、三角形FNQと三角形FBGは相似でFN:NQ=FB:BG=6:10=3:5なので
FN=③、NQ=⑤とおくとFB=FN+NB=FN+NQ=③+⑤=⑧
FB=6cmなので
⑧=6より⑤=15/4となります。
よくある問題ですね。
青い正方形の辺の長さが15/4cmとわかりました。

これでSQ=PM-PS-QM=(10+6)-15/4-15/4=17/2=8と1/2cm
とわかります。

(2)
musa17k3.jpg
正方形IJKLは正方形EFGHを赤い点線で折り返したものになります。

musa17k4.jpg
求め方はいくつか考えられますが,今回は八角形を赤い正方形アウオキと緑の三角形アイウ4つ分と考えます。
赤い正方形は辺の長さはSQと同じ長さ17/2cmです。次は緑の三角形。
JF=AF-AJ=10-6=4cm,JF:アウ=4:(17/2)=8:17より
底辺が17/2cmに対して高さは15/4×17÷(8+17)=51/20cm

だから八角形の面積は
17/2×17/2+(17/2×51/20÷2)×4=578/5=115と3/5㎠となります。


灘中学の平成25年第1日目大問9にも同じような問題が出題されました。
応用的な平面図形の問題は、補助線を引くことで典型的な解き方に当てはめてることはできないかを意識すると得点につながっていきます。
頑張ってください!(畠田)
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