桜蔭中学校算数 問題解説&入試分析★2017年(H29年)

2017.04.17 17:43|入試問題分析(算数)
今回は桜蔭中学を取り上げます。

受験者数501人、合格者数269人、補欠者数18人で倍率は1.86です。
平均点などは非公表ですが、算数は6割5分程度が目安です。

各大問を見ていきますと

大問1(1)計算問題です。きっちりあわせましょう。
(2)① 千の位から決めると10通り。その数字をAとする。百、十、一の位に使うA以外の数学の選び方は9通り。その数字をBとする。A(AかB)(AかB)(AかB)は2×2×2=8通り。そのうち全てAなのは1通りなので、10×9×(8-1)=630通りとなります。
② 0□□□となるのは,①と同様に考え,0(0かB)(0かB)(0かB)から0000を除いた9×(8-1)=63通り,1□□□も同様に63通りですから,2000,2002,2020の3個を足して63×2+3=129番目とわかります。
③ ②同様,9□□□となるのは63通り,89(8か9)(8か9)となるのは4通り,88□□となるのは88(8かB)(8かB)から8888を除いた9×(2×2-1)=27通り。ここまでで63+4+27=94通りですから,8800から2つだけ大きくすればよいですね。8800→8808→8811が答えです。類題は見かけますが、大学受験の数学でも出されるような問題であり難易度は高めです。
大問2 (1)(16+20)÷(2+2)=9秒。必ずあわせましょう。
(2)Pは長方形の周りを、Qは三角形の周りをぐるぐる回っていて辺GDが共有されています。PがDとGに到達する時刻、QがDとGに到達する時刻をそれぞれ計算して整理して確実に求めましょう。

大問3 (1)①Bのうち,水に触れる底面は12×12-3×3=135㎠なので135×1/27=5㎤/秒となります。②189秒間に入った水5×3×189=2835㎤のうち,Aに3×3×15=135㎤,Bに135×9=1215㎤,Cに残りの2835-135-1215=1485㎤が入ります。
Cのうち,水に触れる底面は21×21-12×12=297㎠ですから,1485÷297=5cmとなります。
(2)全体の容積2835㎤を120秒で割って2835÷120=189/8 ㎤/秒で水が増えるので、1つの蛇口から出る水の量は189/8÷3=63/8㎤/秒とわかります。難しくないので丁寧に計算して正解したいところです。

大問4 今回はこれを解説します。

大問5 (1)全体から三角すいを取り除きます。
(2)立方体アも一緒に切断して考えます。アの下面に現れる切り口を考えると,3cm3cmの直角二等辺三角形を底面とする三角すいが切り落とされることがわかるので,それを(1)から取り除けばOKです。
(3)同じようにイとウを一緒に切断して考えてみます。イの上面、イの下面(=ウの上面)、ウの下面に現れる切り口を考えると、斜線のついた直方体のちょうど半分が切り取られますので,それを(1)から取り除きます。
段ごとの図に切り口を書き込む練習がしっかりとできていれば得点源になりそうですね。

大問1の(1)、大問2、3、5を出来る限り完答して、大問1(2)と大問4がどこまでできるかの勝負です。

(問題)平成29年 桜蔭中学校・算数 大問4
ouin17m1.jpg
図のような立体1,2,3がどれも1個以上あります。立体1は円すい、立体2は円柱、立体3は底面の半径が4cmの円柱から底面の半径が2cmの円柱をくりぬいてできた立体です。
立体1の底面(下の面)は赤、立体2の底面(上下の2つの面)は青、立体3の底面(上下の2つの面)は黄色にぬられていて、どの立体もその他の面は全て白くぬられています。
このとき次の問いに答えなさい。

(1)立体1,2,3の1個ずつについて、白くぬられている部分の面積と、赤,青,黄色にぬられている部分の面積をそれぞれ求めなさい。
(2)全ての立体の赤くぬられている部分の面積の合計と、青くぬられている部分の面積の合計と、黄色くぬられている部分の面積の合計がどれも同じとき、全ての立体の白くぬられている部分の面積の合計は最も少なくて何㎠ですか。
(3)全ての立体の白くぬられている部分の面積の合計が5652㎠であるとき、立体1,2,3はそれぞれ何個ずつありますか。考えられる個数の組を全て答えなさい。ただし、立体1,2,3はどれも異なる個数あるとします。解答らんは全部使うとは限りません。


[解説]
(1)立体1
白:25×6×π=150×π=471
赤:6×6×π=36×π=113.04
立体2
白:2×3×π×20=120×π=376.8
青:3×3×π×2=18×π=56.52
立体3
白:(2×4×π+2×2×π)×15=180×π=565.2
黄色:(4×4-2×2)×π×2=24×π=75.36

(2)(赤の面積):(青の面積):(黄色の面積)=36×π:18×π:24×π=6:3:4
赤、青、黄色の部分の面積の合計が同じことから、個数の比は逆比となり
(立体1の個数):(立体2の個数):(立体3の個数)=2:4:3
なので白くぬられている部分の面積の合計が最も少なくなるのは立体1が2個、立体2が4個、立体3が3個の
150×π×2+120×π×4+180×π×3=1320×π=4144.8
です。

(3)5652=1800×πなので、
150×π×(立体1)+120×π×(立体2)+180×π×(立体3)=1800×π
全体を30×πで割ると、
5×(立体1)+4×(立体2)+6×(立体3)=60
となります。この式を満たすような個数の組み合わせを考えましょう。

まず(立体2)×4と(立体3)×6と60は偶数なので(立体1)×5も偶数です。
だから立体1の個数は偶数になります。

立体1が10個の時
同じように2で割って
(立体2)×2+(立体3)×3=5
この組み合わせは(立体2,立体3)=(1,1)

立体1が8個の時
(立体2)×2+(立体3)×3=10
(立体2,立体3)=(2,2)

立体1が6個の時
(立体2)×2+(立体3)×3=15
(立体2,立体3)=(6,1),(3,3)

立体1が4個の時
(立体2)×2+(立体3)×3=20
(立体2,立体3)=(7,2),(4,4),(1,6)

立体1が2個の時
(立体2)×2+(立体3)×3=25
(立体2,立体3)=(11,1),(8,3),(5,5),(2,7)

このうち、どれも異なる個数の組み合わせは
(立体1,立体2,立体3)=(4,7,2),(4,1,6),(2,11,1),(2,8,3)


桜蔭では図形問題を場合の数や比などと組み合わせた問題がよく出ます。しかし典型的な解法の組み合わせです。典型的な問題の練習することと、過去問で合成問題を解いて練習を積むことで合格に近づきます。頑張ってください!(畠田)
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