渋谷教育学園幕張中学校 算数 問題 解説&入試分析★2017年(H29年)第1回

2017.05.24 18:13|入試問題分析(算数)
今回は渋谷教育学園幕張中学校の一次です。

2017年度は
受験者、男子1356人、女子598人、計1963人
合格者、男子543人、女子181人、計724人
倍率は2.7となっています。

各教科の平均点は(受験者平均点,合格者平均点)の順で
国語(55.0,62.7)
算数(41.4,53.8)
社会(26.5,31.2)
理科(32.0,41.0)
合格最低点が166/350

受験者平均と合格者平均を比べると、合否への影響は算数や理科の出来が高めに出たようです。


大問1 (1)90秒までのグラフで水が入る割合がわかります。
(2)63×70×60と(1)で求めた容積の差が切り取った直方体の体積になります。

大問2 (1)計算するだけなのであわせましょう。
(2)(出たサイコロの目)+1÷(前の値)=(次の値)より1÷(前の値)が1より小さいので、(今の値)-(出たサイコロの目)が1より小さくなることから出たサイコロの目がわかり、前の値が求まります。
(3)Fがもっとも大きくなるには、Eがもっとも小さくなるときです。Eがもっとも小さくなるには、Dがもっとも大きくなるときです。
その先も同様に考えて、サイコロの目が1,6,1,6,1,6と出たときが当てはまります。

大問3 (1)Eが1000円札で払うには,売り場に700円ないといけないのでEは4番目か5番目と決まります。下の図で,→移動をA・Bの購入,↓移動をC・Dの購入に対応させると,
shibumaku17k9.jpg
のように2通り考えられ,ABの順列が2通り,CDの順列が2通り,4人の並びに対してEの入れどころが2通りなので,
2×2×2×2=16通りとなります。

(2)
Dは3番目,Cは4番目か5番目となります。
ABEの順列が6通り,Cの位置が2通りなので,6×2=12通り
(3)
→移動をA・B・Eの購入,↓移動をC・Dの購入に対応させると,
shibumaku17k10.jpg
のように5通り考えられ,ABEの順列が6通り,CDの順列が2通りなので,5×6×2=60通りとなります。

大問4 (1)①△BAD=△DEF=△FGH=△HIC=[1]とおくと△GHI=[1]、△EFG=[3/2]、△ADE=[11/6]となります。
②FH:HC=△FGH:△HGC、BD:DC=△BAD:△DAC、DF:FC=△DEF:△FECを利用して求めます。
(2)△ABEと△BCAが合同なので,四角形AECBは等脚台形となり,ABとECは平行です(なお,AC=7cmです)。
また,△BCAと△CBDが合同なので,四角形BCDAも等脚台形となり,ADとBCも平行です。
よって,ADとECの交点をFとすると四角形ABCFが平行四辺形となり,
AF=BC=3cm,FC=AB=5cmです。
更に,△ADCと△ECDが合同なので,四角形AEDCも等脚台形となり,対角線の交点がFですから,
FD=FC=5cmで,AD=AF+FD=3+5=8cmとなります。

大問5 今回はこの問題を扱います。


大問1 大問2 大問4(1)をおさえて,大問3でどれだけとれるかの勝負でしょうか。

(問題)H29年 渋谷教育学園幕張中学校 第1回 大問5
図のような1辺の長さが8cmの立方体があり、上の面の正方形の各辺の真ん中の点をそれぞれ点A,B,C,D、下の面の正方形の各辺の真ん中の点をそれぞれ点E,F,G,Hとします。
shibumaku17m1.jpg
このとき、次の各問いに答えなさい。
ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められるものとします。

(1)この立方体を、4つの点A,D,F,Gを通る平面と、4つの点B,C,E,Hを通る平面とで同時に切ったとき、頂点Pを含む立体の体積は何㎤ですか。

(2)この立方体を、4つの点A,D,F,Gを通る平面と、2つの点E,Hと頂点Qを通る平面とで同時に切ったとき、点Bを含む立体の体積は何㎤ですか。

[解説]
(1)
sibumaku17k1.jpg
赤の断面と青の断面を描くと頂点Pを含む立体は緑のところになります。

shibumaku17k2k.jpg
図のように,青い直方体から赤い三角すい台2個を引きます。
三角錐とその切り落とす部分の相似比は2:1より体積比は8:1なので、引く部分の体積は
8×8÷2×8÷3×(8-1)÷8=448/3㎤
立方体の半分の体積は4×8×8=256㎤
よって求める体積は256-448/3=320/3㎤です。

(2)
shibumaku17k3.jpg
赤の断面と青の断面を描くと、緑の部分が点Bを含む立体になります。

shibumaku17k4.jpg
赤の三角錐2つと紫の六角錐の和と考えます。

shibumaku17k5.jpg
紫の六角錐は青の六角錐との体積の比が、底面の比と等しくなります。

shibumaku17k8.jpg
青の六角錐の体積は黒の立体(立方体の半分の体積)から赤の三角錐3つを取り除いて
8×8×8÷2-(4×4÷2×8÷3)×3=192㎤

次に青の六角形と紫の六角形の比を求めます。
shibumaku17k6k_20170523205152ed0.jpg

図のように(⑤-④):④=1:4から

shibumaku17k7k.jpg
青の六角形と紫の六角形の比は
(25×6):(25×3+9+1+9)=75:47

底面の比から紫の六角錐の体積は
192×47÷75=9024/75㎤
よって求める体積は赤の三角錐2個くわえて
9024/75+(4×4÷2×8÷3)×2
12224/75㎤となります。

渋幕の問題はかなり難しい問題も出ます。全て解かなければならないわけではないので、過去問演習を通じて、まずはどれくらいの問題量に着手するかの目安をしっかりと身につけましょう。頑張ってください(畠田)
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