聖光学院 算数 問題 解説＆入試分析★2017年(H29年)
2017.07.04 16:17｜入試問題分析(算数)｜
今回は聖光学院をとりあげます
第1回は
受験者数は645人、合格者数は242で実質倍率は2.7倍
科目別得点結果は(科目，満点，平均点，合格者平均，合格最低点)の順に
(国語，150，85.7，96.9，63)
(算数，150，97.8，118.0，66)
(理科，100，63.8，73.2，51)
(社会，100，69.5，75.4，49)
(合計，500，316.8，363.5，334)
となっております。
算数は平均点と合格者平均の差が大きく、合否に影響しやすいです。
各大問を見ていくと
大問1 (1)計算問題です。必ずあわせましょう。
(2)(進んだ距離の比)＝(速さの比)なので80：45：120＝16：9：24から
学さんが⑯、光さんが⑨、聖さんが㉔進んだとします。光さんと聖さんの間の距離は㉔－⑨=⑮で，聖さんと学さんの間の距離も⑮ですから，1周1500m＝㉔＋⑮＋⑯などから解いていきましょう。
(3)立方体は全部で1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＝120個あり、1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝そのうちの36個の立方体から，1/6㎤の三角錐が1つずつ切り落とされます
大問2 (1)10，9，8，7の組み合わせのときなので19×15，18×16，17×17のうち最大のものを考えます。
(2)70の約数を考えて2以上19以下の組み合わせになるものは5×14と7×10ですが、2，3，6，8の和は19より5×14だけとなります。
(3)100の約数を考えて2以上19以下の組み合わせになるものは10×10だけです。
(4)108，140，144の約数のうち2以上19以下の組み合わせとその和はそれぞれ
108は6×18で和24と9×12で和21、140は10×14で和24、144は8×18で和26と9×16で和25と12×12で和24です。和が一致するのは24だけなので108は6×18、140は10×14、144は12×12と決まります。
大問3 (1)4点から2点選ぶ方法は4C2=6通りより、6×6＝36通りです。
(2)QD：BC＝1：3より1×3/(1＋3)＝3/4cmとわかります。
(3)(ア)(上底)：(下底)＝1:2のときなので下底がRCのとき上底は3通り、下底がBSのとき上底は3通りとわかります。
(イ)(上底)：(下底)＝1:1のときなので上底と下底の長さが1のときと、上底と下底の長さが2のときを調べると1/6cmきざみに5個あることがわかります。
大問4 (1)[ア]時間後に水深は0.9m、直方体LMNK-IFGJ側に3.6mなので(高さ)×(底面積)の比を考えて(0.9×4)：3.9＝1：1とわかります。
(2)7.5時間後の水の体積と[ア]時間後の水の体積の比は(3.6×25×25)：(0.9×20×25＋3.6×5×25)＝5：2より7.5×2/5＝3時間とわかります。
(3)18時間後から36時間後の18時間で(3.6×20×25)m^3の水が流れるので3.6×20×25÷18＝100m^3とわかります。
(4)7.5時間で3.6×25×25m^3の水が入ったので1時間に3.6×25×25÷7.5＝300m^3とわかります。
またPの給水量とRの排水量の差とQの給水量の比は1：1から
それぞれの給水量と排水量はPは250m^3 Rは100m^3 Qは150m^3とわかります。
9.5時間後は水深が3.6mより2×300÷(25×25)＝0.96mだけ高くなります。
鶴亀算で考えますと、9.5時間後にすぐにPを閉めた場合、水深3.6mより8.5×100÷(25×25)=1.36mだけ低くなります。よってPを閉めるまで(1.36－0.96)×25×25÷(100＋150)＝1時間とわかります。
(問題)H29年 聖光学院中学校 第1回 大問5
図1のように1辺の長さが9cmの立方体ABCD-EFGHを、四角形EFGHが底面になるように置きます。ADの真ん中の点をMとし、Mの真上にXM=4cmとなるように点Xをとります。
四角形ABCD内の点PとXを結ぶ直線が側面BFGCと交わる点をQとし、BC上に角QRBが直角となるように点Rをとります。このとき、次の問いに答えなさい。
(1)Pが図2の位置にあるとき、QRの長さとBRの長さはそれぞれ何cmですか。
(2)Pが図3の斜線部分を動くとき、Qが通過する部分を解答欄の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。ただし、解答欄の図のマス目の1目盛りは1cmであるとします。また、PとQを結ぶ直線がこの立方体の内部を通過する部分の体積は何㎤ですか。
[解説]
(1)
上から見た図よりMP：PR＝3：6＝1:2となります。
よってBRの長さは
4－(4.5－4)×2＝3cm
となります。
また横から見た図よりXM：QR＝MP：PR＝1：2より
QR=4×2＝8cm
となります。
(2)
Pが長方形の頂点ア、イ、ウ、エにあるときに注目します。
上から見た図より
アエ：ア'エ'＝Mア：Mア'＝3：9＝1：3なのでア'エ'＝1×3＝3cm
イウ：イ'ウ'＝Mイ：Mイ'＝6：9＝2：3なのでア'エ'＝1×3÷2＝3/2cm
横から見た図より
Rイ'：XM＝Rイ：イM＝3：6＝1:2なのでRイ'＝4÷2＝2cm
Rア'：XM＝Rア'：アM＝6：3＝2：1なのでRア'＝4×2＝8cm
図のような台形ア'エ'ウ'イ'のようになります。
面積は(3/2＋3)×6÷2＝13.5㎠となります。
体積は
(台形を底面とした四角錐の体積)－(長方形を底面とした四角錐の体積)
＝13.5×9÷3－1×3×4÷3
＝36.5㎤
となります。
聖光学院の問題は難易度が高かったり、複雑であることが多いです。
しっかり過去問で傾向を掴んで研究して、慣れておきましょう。
頑張ってください(畠田)
第1回は
受験者数は645人、合格者数は242で実質倍率は2.7倍
科目別得点結果は(科目，満点，平均点，合格者平均，合格最低点)の順に
(国語，150，85.7，96.9，63)
(算数，150，97.8，118.0，66)
(理科，100，63.8，73.2，51)
(社会，100，69.5，75.4，49)
(合計，500，316.8，363.5，334)
となっております。
算数は平均点と合格者平均の差が大きく、合否に影響しやすいです。
各大問を見ていくと
大問1 (1)計算問題です。必ずあわせましょう。
(2)(進んだ距離の比)＝(速さの比)なので80：45：120＝16：9：24から
学さんが⑯、光さんが⑨、聖さんが㉔進んだとします。光さんと聖さんの間の距離は㉔－⑨=⑮で，聖さんと学さんの間の距離も⑮ですから，1周1500m＝㉔＋⑮＋⑯などから解いていきましょう。
(3)立方体は全部で1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＝120個あり、1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝そのうちの36個の立方体から，1/6㎤の三角錐が1つずつ切り落とされます
大問2 (1)10，9，8，7の組み合わせのときなので19×15，18×16，17×17のうち最大のものを考えます。
(2)70の約数を考えて2以上19以下の組み合わせになるものは5×14と7×10ですが、2，3，6，8の和は19より5×14だけとなります。
(3)100の約数を考えて2以上19以下の組み合わせになるものは10×10だけです。
(4)108，140，144の約数のうち2以上19以下の組み合わせとその和はそれぞれ
108は6×18で和24と9×12で和21、140は10×14で和24、144は8×18で和26と9×16で和25と12×12で和24です。和が一致するのは24だけなので108は6×18、140は10×14、144は12×12と決まります。
大問3 (1)4点から2点選ぶ方法は4C2=6通りより、6×6＝36通りです。
(2)QD：BC＝1：3より1×3/(1＋3)＝3/4cmとわかります。
(3)(ア)(上底)：(下底)＝1:2のときなので下底がRCのとき上底は3通り、下底がBSのとき上底は3通りとわかります。
(イ)(上底)：(下底)＝1:1のときなので上底と下底の長さが1のときと、上底と下底の長さが2のときを調べると1/6cmきざみに5個あることがわかります。
大問4 (1)[ア]時間後に水深は0.9m、直方体LMNK-IFGJ側に3.6mなので(高さ)×(底面積)の比を考えて(0.9×4)：3.9＝1：1とわかります。
(2)7.5時間後の水の体積と[ア]時間後の水の体積の比は(3.6×25×25)：(0.9×20×25＋3.6×5×25)＝5：2より7.5×2/5＝3時間とわかります。
(3)18時間後から36時間後の18時間で(3.6×20×25)m^3の水が流れるので3.6×20×25÷18＝100m^3とわかります。
(4)7.5時間で3.6×25×25m^3の水が入ったので1時間に3.6×25×25÷7.5＝300m^3とわかります。
またPの給水量とRの排水量の差とQの給水量の比は1：1から
それぞれの給水量と排水量はPは250m^3 Rは100m^3 Qは150m^3とわかります。
9.5時間後は水深が3.6mより2×300÷(25×25)＝0.96mだけ高くなります。
鶴亀算で考えますと、9.5時間後にすぐにPを閉めた場合、水深3.6mより8.5×100÷(25×25)=1.36mだけ低くなります。よってPを閉めるまで(1.36－0.96)×25×25÷(100＋150)＝1時間とわかります。
(問題)H29年 聖光学院中学校 第1回 大問5
図1のように1辺の長さが9cmの立方体ABCD-EFGHを、四角形EFGHが底面になるように置きます。ADの真ん中の点をMとし、Mの真上にXM=4cmとなるように点Xをとります。
四角形ABCD内の点PとXを結ぶ直線が側面BFGCと交わる点をQとし、BC上に角QRBが直角となるように点Rをとります。このとき、次の問いに答えなさい。
(1)Pが図2の位置にあるとき、QRの長さとBRの長さはそれぞれ何cmですか。
(2)Pが図3の斜線部分を動くとき、Qが通過する部分を解答欄の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。ただし、解答欄の図のマス目の1目盛りは1cmであるとします。また、PとQを結ぶ直線がこの立方体の内部を通過する部分の体積は何㎤ですか。
[解説]
(1)
上から見た図よりMP：PR＝3：6＝1:2となります。
よってBRの長さは
4－(4.5－4)×2＝3cm
となります。
また横から見た図よりXM：QR＝MP：PR＝1：2より
QR=4×2＝8cm
となります。
(2)
Pが長方形の頂点ア、イ、ウ、エにあるときに注目します。
上から見た図より
アエ：ア'エ'＝Mア：Mア'＝3：9＝1：3なのでア'エ'＝1×3＝3cm
イウ：イ'ウ'＝Mイ：Mイ'＝6：9＝2：3なのでア'エ'＝1×3÷2＝3/2cm
横から見た図より
Rイ'：XM＝Rイ：イM＝3：6＝1:2なのでRイ'＝4÷2＝2cm
Rア'：XM＝Rア'：アM＝6：3＝2：1なのでRア'＝4×2＝8cm
図のような台形ア'エ'ウ'イ'のようになります。
面積は(3/2＋3)×6÷2＝13.5㎠となります。
体積は
(台形を底面とした四角錐の体積)－(長方形を底面とした四角錐の体積)
＝13.5×9÷3－1×3×4÷3
＝36.5㎤
となります。
聖光学院の問題は難易度が高かったり、複雑であることが多いです。
しっかり過去問で傾向を掴んで研究して、慣れておきましょう。
頑張ってください(畠田)
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