甲陽中学校 算数 （1日目） その2 2018(H30)入試分析

大問4の難易度が少し高めの図形の問題を扱います。

(問題)H30　甲陽学院中学校　算数（第1日）　大問4番
正三角形ABCの辺ABの真ん中の点をDとします。また，PとQはそれぞれ辺BC，AC上の点で，図のようにAとP，PとQ，QとDを直線で結んだときにその長さの合計AP＋PQ＋QDが一番短くなるような点とします。

(1)長さの比BP：PC,AQ：QCを最も簡単な整数の比でそれぞれ求めなさい。

(2)直線APと直線QDが交わる点をRとします。三角形PQRの面積は正三角形ABCの面積の何倍ですか。


(1)
最短距離の問題は図を折り返して，2点を直線で結べばよかったですね。

ACで折り返して、更にB'Cで折り返してDとA'を直線で結びます。
一つの解法としてはDCとAA'の補助線でも引けば、図よりB'P'：P'C=3：1よりBP：PC=3：1
AQ：QC＝AD：P'C＝2：1
とわかります。


(2)

RはDA'とAPとの交点なので、△ABA'にベンツ切りを使ってAR:RPを出す方法があります。
△ARB：△ARA'＝BP：PA'＝3：(4+1)＝3：5
△ARA'：△BRA'＝AD：DB＝5：5
よって
AP：RP＝(△ARB＋△ARA'＋△BRA')：△BRA'
＝(3＋5＋5)：5
＝13：5
したがって
△PQR＝△APQ×5/13
＝△APC×2/3×5/13
＝△ABC×1/4×2/3×5/13
＝△ABC×5/78
で5/78倍とわかりました


使うことは特殊なことではなく、よく使う方法なので普段からたくさん練習しておくことで点数につながっていくと思います。
勉強がんばっていきましょう(畠田)