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灘中学校 算数(1日目)2019(H31)入試分析 その3

2019.02.14 13:34|入試問題分析(算数)
今回は灘中学、算数1日目の大問7をとりあげたいと思います。
一見N回目の出会いの問題に見えますが,出会いの度に折り返すし,速さも遅くなります。
文字など置いて力技で解くこともできて,それはそれで大事なことですが,算数の速さの問題としてもアプローチの仕方
『時間、距離、速さ、何が一定か』
『和と差を考えてみる』

に注目するという勉強になる良い問題と思います。



(問題)2019年度 灘中学校 算数第1日目 大問7
A地点とB地点を結ぶ道を,太郎君はAからBへ,次郎君はBからAへ向かって,それぞれ一定の速さで同時に走り始めました。2人の間の距離は3分間に1kmの割合で縮まりました。途中,2人はC地点で出会うとすぐに折り返し,速さをそれぞれ時速1kmだけおとして,来た道を戻りました。2人はそれぞれA,Bに到着してすぐに折り返し,Cよりも130mだけAに近いD地点で再び出会いました。Dで出会った2人はまたすぐに折り返し,速さをさらにそれぞれ時速1kmだけおとして,来た道を戻りました。そして,2人はそれぞれA,Bに到着してすぐに折り返し,Dよりも[   ]mだけAに近いE地点で出会いました。



[解説]
まず和を考えてみると

折り返してから出会いまでの太郎と次郎の進んだ長さの和が、AB二つ分で一定
→速さの和と時間が逆比

走り始めてから最初の出会いまではAB一つ分ですが二人ともC地点から太郎はAに次郎はBに向かって同時にスタートして折り返してきて1回目の出会いになったと考えれば太郎と次郎の進んだ長さの和がAB二つ分になるので扱いやすくなります。

H31nada1-7kaisetu1.jpg
二人の速さの和は
○~△:1÷3 km/分=1000/3 m/分
△~☐:1 km/時=1000/60 m/分=50/3 m/分ずつ遅くなるので1000/3-50/3×2=900/3 m/分
☐~●:300-50/3×3=800/3 m/分

距離が一定なので(○~△),(△~☐),(☐~●)の時間の比は

1000/3:900/3:800/3=10:9:8
なので速さの比は
9×8:8×10:10×9=36:40:45
となります。


次に差を考えてみると

太郎と次郎の速さの差は常に一定
→太郎と次郎の進んだ距離の差と時間が比例

太郎と次郎は1km/時ずつ遅くなっても,差はかわりません。
ということは太郎と次郎の進んだ距離の差は時間に比例します。

ABの中点をMとしてC,D,EをMについて対称移動した点をC',D',E'とすると太郎と次郎の進んだ距離の差は
○~△:CC'2つ分
△~☐:DD'2つ分
☐~●:EE'2つ分
それぞれ時間に比例するので36:40:45になります。

よって差の半分である図の青い線の部分も36:40:45になるのでそれぞれの長さを[36],[40],[45]とおくと
CM=[36÷2]=[18]
CD=[40]-[36]=[4]
ED=[45]-[40]-[4]=[1]
よってCD:ED=4:1よりED=130÷4=32.5m

とわかりました。(畠田)
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