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灘中学校 算数(2日目)2019(H31)入試分析 その2

2019.02.16 18:37|入試問題分析(算数)
前回の灘中学校、2019年度算数2日目大問1と大問2に続いて大問3をとりあげます。

ただ単に頂点を通った光はどこに到達するか考えて結べばいいだけの問題ではなく,辺を通った光がどう到達するか考えないといけない問題なので,曖昧な理解を明確な理解にレベルアップさせてくれる非常に良い問題です。
きちんとした論理の組み立てとしては算数に役立つ数学的な空間図形で勉強になります。


○大問3
右の図のように,板①と板②が垂直に置かれています。板①と板②のつなぎ目の直線をXYとします。板①にかかれた正方形ABCDは一辺の長さが10cmです。また,直線ADと直線XYは平行で,ABとXYが交わる点をEとすると,AEの長さは10cmです。BFは長さが10cmで,板①に垂直であり,点Fに電球が置かれています。電球の大きさは考えないものとします。
H31nada2-3-m1.jpg

(1)
一辺の長さが10cmの正方形の板を,板②と平行に,1つの辺がADと重なるように置きます。板①と板②にできるこの正方形の板の影の面積の和は
[   ]cm^2です。ただし,板は光を通さず,板の厚さは考えないものとします。
H31nada2-3-m2.jpg

(2)
底辺の長さが10cmで高さが10cmの二等辺三角形の板を,板②と平行に,底辺がADと重なるように置きます。板①と板②にできる二等辺三角形の板の影を,例にならって右ページの上の図にかきいれなさい。
H31nada2-3-m3.jpg


H31nada2-3-m4.jpg


H31nada2-3-m5.jpg
解答欄

(3)
一辺の長さが10cmの正方形を底面とし,高さが10cmである四角すいの石像を,底面が正方形ABCDと重なるように置きます。この四角すいのA,B,C,D以外の頂点をOとすると,OA,OB,OC,ODの長さはすべて等しくなっています。この四角すいの石像の影が板①と板②にできます。
H31nada2-3-m6.jpg

(ア)板①と板②にできる四角すいの石像の影を,(2)の例にならって右の図に書きいれなさい。
H31nada2-3-m5.jpg
解答欄

(イ)板①と板②にできる四角すいの石像の影の面積の和を求めなさい。ただし,正方形ABCDは含めません。



[解説]
(1)は図のように真上から見た図でFとA,FとDを結んで直線を引いてXYとの交点E,E'をとり,AとDとEとE'と板②のFの影の2点の各点を結べばよく図のようになります。
H31nada2-3-kaisetu1.jpg

これで面積は20×20-10×10÷2=350cm^2と出せます。

ただ(2)と(3)では板①や②に垂直または平行ではない辺が出てくるので,影はどう求めればいいかできるもう少しはっきりさせる必要があります。

そこで辺による影が影の境界になるので
その辺の両端の点と点Fの3点を通る平面を考えて,その平面と板①や,その平面と板②の交線(平面が交わって出来る直線)が影の境界になります。

(2)
H31nada2-3-kaisetu2_201902161841476bb.jpg
二等辺三角形の頂点Gとして辺GAによる影は,3点F,G,Aを通る平面との交線になると考えます。すると直線FGと板①は平行なので板①にできる境界は点Aを通り直線FGと平行な直線上になります。
同じように考えて辺GD側による境界も,点Dを通り直線FGと平行な直線上になります。
H31nada2-3-kaisetu3.jpg
板②の方は板①に出来た影の境界とXY上の交点と,光が点Gを通って板②に到達した点をそれぞれ結んでこのようにできあがります。

(3)同じように辺OAによる影は,3点F,O,Aを通る平面との交線になると考えます。すると直線FOと板①は平行なので板①にできる境界は点Aを通り直線FOと平行な直線上になります。
辺OD側も同じです。
H31nada2-3-kaisetu4.jpg

板②の方も同様にしてこのようにできあがります。

面積はマス目14個分より5×5×14=350cm^2とわかります。
(畠田)

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