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甲陽中学校 算数(2日目) 2019(H31)入試分析

2019.03.05 22:38|入試問題分析(算数)
数理教育研究会の畠田です。

甲陽算数第一日に続いて第二日をとりあげたいと思います。

前回の第一日の記事でも書いたように平均点が
54.0→56.3→61.4→53.1→47.5→54.3→58.3→40.3
と近年ではかなり低く、難しい試験になりました。

しかし奇問であるというわけではなく、わかりやすく典型的なお題ではあったのでしっかり勉強してると差をつけることができたと思います。
ハイレベルな典型問題をしっかりやりこんでいきましょう。
第二日の目標は6割です。


【問題分析】

○大問1
どちらもレベルが高めの典型問題の解法を使う問題です。
しっかりあわせたいです。
(1)アはブーメラン型に見えるので,ア=72°+○+●を考えると○+●を求めればよくなります。○○+●●+72°=180°より○+●=54°とわかりア=72°+54°=126°です。また△+×=(180°-94°)÷2=43°で,三角形の外角を考えるとイ=72°+○より同様にして
イ+ウ+エ+オ=72°+○+72°+●+94°+△+94°+×=429°
(2)連続する整数の和に分解する方法は
○(真ん中の整数)×(奇数個)
○(真ん中2つの整数の平均値)×(偶数個)
の二つでした。
連続する個数が最も多くなるのは
1000=2×2×2×5×5×5
より奇数個の時は5×5=25個,真ん中の整数2×2×2×5=40
偶数個の時は2×2×2×2=16個,真ん中2つの整数の平均5×5×5÷2=62.5で奇数個の方が多くなり,一番小さい数は40-12=28,一番大きい数は40+12=52とわかります。

○大問2
レベルが高い問題集に載ってるような典型問題です。よく勉強している人はばっちりとれたと思います。
(1)
kouyou_2019_2_m2-kaisetu1.jpg
図のようにダイアグラムをかくと点対称になっていることがわかります。
これがこの問題のポイントです。
なのでAとBが1回目に出会った時はQから17.5kmの地点なのでPから42-17.5=24.5kmです。
(2)24.5:17.5=7:5より上りと下りの速さの比は5:7です。
したがって図のように比がわかって
[5]+[7]-[7]×5/12=327分より[1]=36なので[5]+[7]=432分=7時間12分より8時12分とわかります。
(3)上りは[7]×5/12=35分で17.5km進むので17.5÷(105/60)=10km/時
下りは10×7/5=14km/時より静水時の船の速さは(14+10)÷2=12km/時,川の流れの速さは(14-10)÷2=2km/時


○大問3
よく見かける問題ですが(2)はAからBなどに直行しても時間があまるところに気を付けて解く必要があります。しっかりあわせて得点を稼いでおきたいところです。
(1)Aを扇型ABCが三つより10×10×3.14×60°/360°×3=157cm^3とわかります。
(2)
kouyou_2019_2_m3-kaisetu1.jpg
Aから面ABCを通っていく場合,青色のところのようにBやCに到達すると5秒余るので台に5cmの円がそれぞれでき,BCを通過してまっすぐ進むと半径15cm,中心角60°の扇形になります。他の二面も考えると図のようになり
半径5cmで中心角60°の扇形が3つと,半径15cmで中心角60°の扇形3つより
5×5×3.14×60°/360°×3+15×15×3.14×60°/360°×3=392.5cm^2


○大問4
図形を回転させる問題です。
回転の中心となる点からの距離が最大と、最小を考える解法を勉強して身についているかどうかです。
勉強の成果は反映されやすい問題です。
(1)
kouyou_2019_2_m4-kaisetu1.jpg
操作①において点Dからの棒までの距離が最大の点の回転は赤色と緑色,最小の点の回転は青色の線になります。
面積は4×4×3.14÷2-4×4÷2×3.14÷4-4×2÷2×2=10.84cm^2
(2)
kouyou_2019_2_m4-kaisetu2 (1)

操作③において点Fからの棒までの距離が最大の点の回転は赤色.最小の点の回転は青色の線になります。
面積は10.84÷2+4×4×3.14÷4+4×4÷2+8×8×3.14÷4-8×8÷2×3.14÷4=51.1cm^2


○大問5
今回はこの問題をとりあげます。


○大問6
複雑ではありますが,影の問題をしっかり勉強して解法を駆使すればきっちり解ける問題です。
(1)
kouyou_2019_2_m6-kaisetu1.jpg

Pの高さとピラミッドの頂点の高さの比は120:60=2:1より,Pから頂点までの線分を二倍に伸ばして影の頂点に対応する点を考えて,影は赤い三角形となります。
30×60÷2=900m^2

(2)
kouyou_2019_2_m6-kaisetu2.jpg
ドローンがQにいるときを考えると,Qの高さとピラミッドの頂点の高さn比は90:60=3:2より,Pから頂点までの線分を三倍に伸ばして影の頂点に対応する点を考えて,影は緑の三角形となります。
よってドローンがPからQまで移動すると,影の頂点に対応する点が紫の線分のようになり,紫の斜線部の面積を求めて
150×150-60×60-150×90÷2-60×150÷2=7650m^2



大問5をとりあげます。
どれが重複していて、引くことで何が欠けるかなど考えるとややこしくなり頭が痛くなりそうです。
しかしサイコロ2個振る問題のようにまず表を書いていって規則性の問題のように対処すると,頭を痛めずに求められます。
色々な処理を吸収していきましょう!

(問題)H31 甲陽学院中学校 算数(第1日) 大問5番
A,Bはともに1以上100以下の整数とします。次のようになるA,Bの選び方は何通りありますか。ただし,例えばAが1, Bが3の場合と,Aが3,Bが1の場合とは別の選び方とします。また,AとBが同じ数である場合もふくみます。
(1)AとBの積が3の倍数となる選び方。

(2)AとBの積が9の倍数となる選び方

(3)AとBの積が27の倍数となる選び方。



[解説]
(1)1以上100以下には3の倍数が100÷3=33余り1より33個なので
(Aが3の倍数)+(Bが3の倍数)-(AとBともに3の倍数)=33×100+33×100-33×33=5511通り

(2)
kouyou_2019_2_m5-kaisetu1.jpg

1以上100以下には9の倍数が100÷9=11余り1より11個
表より
Aが9の倍数またはBが9の倍数になるところは
11×100+11×100-11×11=2079個
Aが3の倍数かつBが3の倍数になるところは33×33=1089個

赤い重複になっているAとBともに3の倍数で少なくとも一方は9の倍数になるところは
33×11+33×11-11×11=605個

よって
2079+1089-605=2563通り

(3)
kouyou_2019_2_m5-kaisetu2.jpg
1以上100以下には27の倍数が100÷27=3余り19より3個
表より
AとBともに3の倍数で少なくとも一方は9の倍数になるところは605個

Aが27の倍数またはBが27の倍数になるところは
3×100+3×100-3×3=591個

図の赤い重複になっている,AとBともに3の倍数で少なくとも一方は27の倍数になるところは
33×3+33×3-3×3=189個

よって605+591-189=1007通り
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テーマ:中学受験
ジャンル:学校・教育

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(1)100×100-67×67=5511
(2)5511-(33-11)×67×2=2563
(3)2563-{(11-3)×67×2+(33-11)×(33-11)}=1007
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