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洛南高等学校附属中学校 算数 2019(H31)入試分析

2019.04.04 12:34|入試問題分析(算数)
数理教育研究会の畠田です。
今回は洛南高等学校附属中学校を取り扱います。


【入試資料分析】
倍率も平均点も例年通りですが,今回は専願の男子より女子が今回は40点ぐらいあり相変わらず女子の難易度が高いです。


受験者数→合格者数(実質倍率)
男子:533人→208人(2.56倍)
女子:286人→79人(3.62倍)
専願の合格者最低点は男子で201点,女子で240点
併願は男女255点。

合格者平均点は
国語:3科型で90.4 4科型で93.5
算数:3科型で100.7 4科型で90.3
理科:3科型で58.8 4科型で55.5
社会:4科型のみで69.7
総合:3科型で249.4 4科型で246.7

算数はあまり無茶な問題はなく,差が出やすく影響が大きいのでしっかり勉強して点数をとりたいです。


【問題分析】
○大問1
計算問題です。
単に複雑な計算をするのではなく,意図のある問題ばかりです。
どう計算していけばいいか,計算問題の解法を勉強して軽く満点とりましょう。
(1)きっちり括弧や分数が処理が出来るかって問題です。
1/2-1/3=1/6,1/2÷0.75-4/9=2/3-4/9=2/9
12×1/6-2/9×9=0
(2)いっけん等差数列かなと見せかけて、そうでもないですが等差数列と同じように足す順番を工夫すれば良いです。
93+7=100,89+11=100,83+17=100,71+29=100,59+41=100,53+47=100で相殺されていき真ん中の50が残ります。
(3)分数の計算を素因数分解に注意しておこないます。
954-459-25×16+0.4=954-459-400+0.4=95.4
1/12+1/84+1/210=(35+5+2)/(5×7×12)=42/(5×7×12)=1/10
なので954
(4)25の倍数の問題です。
0.375×24=(0.375×4)×6=1.5×6=9
2.5×0.625×16=(2.5×4)×0.25×(2.5×4)=25
25×12=(25×4)×3=300
125×16=(125×4)×4=2000
より(9+25)×19-300+2000-14×19=(34-14)×19+1700=2080
(5)1×1×1+3+5+3×3×3+13+15+17+19+5×5×5+31+33+35+37+39+41
この並びを見ると1×1×1が1,3×3×3が7+9+11,5×5×5が21+23+25+27+29になれば奇数の足し算になって都合がよさそうですが実際そうなります。
何故そうなるかと言うと,真ん中がA×AでA個の連続する等差数列の和はA×AがA個でA×A×Aだからです。
よって41は(41+1)÷2=21で21番目の奇数より和は21×21=441となります。

○大問2
そこそこ難しい洛南らしい平面図形の問題です。
わかりにくい問題もありますが、典型的な解法を組み合わせたらできます。
(1)2つの正三角形が1つの頂点を共有してる問題は,正三角形の性質から辺が同じ長さ,60°から共通の角をひいて同じ大きさの角が見つかり,合同になる三角形が見つかるパターンが多いです。
この問題も△AGDと△AECが合同です。
よって∠AGF=60°,∠FEC=∠AGD-∠AEF=60°より∠FCE=∠GAF=14°とわかり
FB=FCより∠FBC=∠FCBから(あ)=(14°+60°)÷2-14°=23°とわかります。

(2)
rakunan_2019_m2_kaisetu2.jpg
図のよう30°の直角三角形は正三角形の半分と考えます。
同じ角度に印をつけて相似を見つけることできて
OCの長さは8-2=6cm
アの面積が4×8÷2=16cm²に対してイの面積は16-4×2÷2=12となり面積は12/16=3/4倍となります。
よって△OAB:△ODE=1:(3/4)×(3/4)×(3/4)×(3/4)×(3/4)
=1024:243
とわかります。

(3)
rakunan_2019_m2_kaisetu3.jpg

図のように正方形中央について点対称になるように線を引くのが一つのパターンです。1辺の長さが2cmの正方形と1cm,3cmの直角三角形4つができるので
2×2+1×3÷2×4=10cm²


○大問3
(1)は少し状況がわかりにくいですが、単純な問題なのであわせたいところです。
(2)は少しひねられている食塩水の問題です。天秤法を使って図をよく見て対称性に気付けば簡単で,出来れば正解したい。

(1)
地点AとBの間の距離は
50×130=6500m
花子さんが地点AからBまで進むのにかかる時間は39km/時=650m/分より
6500÷650=10分
花子さんが地点BからAに戻るのにかかる時間は(6500-1300)÷650=8分
1往復した花子さんは太郎君がAを出発して10+8=18分後にAを出発し,太郎君は130後にB到達,花子さんは18+10=28分後にBに到達するので18:(130-28)=3:17より花子さんがAを初めて追い越すのでは130×3/(3+17)=19.5分=19分30秒後
また花子さんの動きは10+8=18分間の繰り返しより
130÷18=7余り4分より7回繰り返してから,太郎君は4分でBに到達するのでこの間花子さんに追い越されることはなく7-1=6回

(2)

rakunan_2019_m3_kaisetu2-e.jpg
図より⑤=10-2=8%より①=1.6%


rakunan_2019_m3_kaisetu2-o.jpg
図より対称性から④=100gで①=100÷4=25gずつ交換すればよい

カキ
rakunan_2019_m3_kaisetu2-ka.jpg
図より⑧/⑩=4/5倍ずつとなり8×4/5×4/5×4/5×4/5=2048/625<4で4回


○大問4
実際使ってる時計と目盛りと針の進み方が違いますが、やることは時計算と同じです。
似た問題は多いのでしっかり練習しておきたいです。
(1)②の条件より短針と重なるのは短針の目盛り9つ進むごとである。
一周は15目盛りで9と15のLCMは45なので45目盛りで再びOに同時に重なる。
45÷15=3より短針は3周
長針は短いを45÷9=5回追い抜いたので3+5=8周

(2)③の条件より長針は12時間で8周するので360×8÷(12×60)=4°/分
短針は12時間で3周より360×3÷(12×60)=1.5°/分

(3)1目盛りで360÷15=24°
長針は24÷4=6分ごと,短針は24÷1.5=16分ごとに目盛りを指す
6と16のLCMは48より48分ごとに同時に目盛りを指すので同時に目盛りを指すのは
12×60÷48=15回。重なる場合を除いて15-5=10回

(4)6時間から7時間つまり360分間~420分間で48分の倍数は
360÷48=7余り24より8×48=384だけなので6時間24分後
そのとき長針は384×4÷24=64より64÷15=4余り4で,4の目盛りを指します。


○大問5
切断の問題です。(1)は絶対解けないといけません。(2)は水面は図形を傾けるのではなく,底面に平行な面で切った切り口であるという見方をします。典型的なパターンを組み合わせて出来る問題なのでしっかり勉強してとれるようにしておくと差をつけることができます。
(1)
rakunan_2019_m5_kaisetu.jpg
頂点うちしてください。

(2)
rakunan_2019_m5_kaisetu2.jpg
水面は切り口に平行になるので,切り口に平行に切断してできた立体の体積を9で割れば良いので,点I,J,Gを通る平面に平行な面で切っていきます。
同じ平面内や平行な平面同士では,切り口の直線は平行になります。
(ア)青い線で切りとられた部分の体積を9で割って
(6×6×12÷6-(3×3×6÷6)×2)÷9=6秒後
(イ)赤い線で切り取られた部分の体積を9で割って
(6×6×6-6×6×12÷6)÷9=16秒後
(ウ),(ア)と同じだけ水が入ればよいので16+6=22秒後


○大問6
今回はこの問題を扱いと思います。


○大問7
じゅず順列
((総数)-(対称))÷2+(対称)
の応用です。
勉強していれば、簡単に確実にとれる問題です。

回転して重なるものも違う並び方として数えたものをA通り,中央に点対称なものをB通りとすると,点対称でないものは120°ずつ回転を考えると重複して3回数えてることになるので(A-B)÷3+B通り
となります。
(1)点対称なものはないので2×2×2=8通り

(2)
rakunan_2019_m7_kaisetu.jpg
点対称なものはマス目1,2の塗り方を考えればよいので2×2=4通り
よって(2×2×2×2×2×2-4)÷3+4=24通り
(3)点対称なものはマス目1,2,3の塗り方を考えて2×2×2=8通り
よって(2×2×2×2×2×2×2×2×2-8)÷3+8=176通り


それでは大問6をとりあげます。
小さい場合で調べて、問題を把握していく練習をしてるかどうかで差ができます。

(問題)H31 洛南高等学校附属中学校 算数 大問6
0と書かれたカード[0]と1と書かれたカード[1]がそれぞれたくさんあり,それらの中から何枚かのカードを取り出して横一列に並べます。そして,次の<<規則>>にしたがって並べ替えます。

<<規則>>
カードの並びが[0][1]となっているところのみを,すべて同時に[1][0]に入れ替える。

(例)
rakunan_2019_m6_rei.jpg

[1][0][1][0][1][1]は,3回並べ替えると[1][1][1][1][0][0]になりました。

(1)7枚のカードを次の(ア),(イ)のように並べます。それぞれ何回並べ替えると
[1][1][1][1][0][0][0]になりますか。
(ア)[1][0][1][0][1][0][1] (イ)[1][0][0][1][1][0][1]

(2)7枚のカードを,[1][ ][ ][ ][ ][ ][1]となるように並べます。
3回並べ替えると[1][1][1][1][0][0][0]になる並べ方は,何個ありますか。

(3)7枚のカードを,[1][ ][ ][ ][ ][ ][1]となるように並べます。
4回並べ替えると[1][1][1][1][0][0][0]になる並べ方は,何個ありますか。

(4)10枚のカードを,[1][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][1]となるように並べます。
6回並べ替えると[1][1][1][1][ ][ ][ ][ ][ ][ ]になる並べ方は,何通りありますか。



[解説]
(1)
まずはやってみて、問題をつかめと言うことです。
(ア)
[1][0][1][0][1][0][1]→
[1][1][0][1][0][1][0]→
[1][1][1][0][1][0][0]→
[1][1][1][1][0][0][0]で3回
(イ)
[1][0][0][1][1][0][1]→
[1][0][1][0][1][1][0]→
[1][1][0][1][0][1][0]→
[1][1][1][0][1][0][0]→
[1][1][1][1][0][0][0]で4回

こうやって見ると0を空き,1を球と考えて球は左に移動していき,左が空いていれば移動できる,空いてなければ移動できないと解釈できます。
ここから簡単に[0]を○,[1]を●と書きます。

一番右の●が左にある●にぶつかると移動するのに回数が増えるので右の方の並べ方で回数が決まることになります。
一番左は●なので残り2つの●の位置を考えればよくなります。

(A)
…●●●は

…●●●→
…○●●→
…●○●

で以下毎回,一番右の●は移動できるので毎回移動した場合より+2回多くなります。
これは●の場所が全て決まるので1通りです。
この場合をAとします。

(B)
…○●●は

…○●●→
…●○●

で以下毎回,一番右の●は移動するので+1回
これは残り●1つを((カードの総数)-4)の場所から選べばよいので((カードの総数)-4)通り
この場合をBとします。

(C)
…●●○●は

…●●○●→
…○●●○→
…●○●●

で以下毎回,一番右にあった●は移動するので+1回
これも●の場所が全て決まるので1通り
この場合をCとします。

他の並びは全て毎回一番右の●が移動します。

(2)
全部で並べ方は,両端以外の5つの場所から●になるところを2つ選んで
(5×4)/(2×1)=10通り
10-(Aの場合)-(Bの場合)-(Cの場合)=10-1-(7-4)-1=5通り

(3)
+1回になるには
(Bの場合)+(Cの場合)=(7-4)+1=4通り

(4)
全部で並べ方は両端以外の8つの場所から●になるところを2つ選んで
(8×7)/(2×1)=28通り
一番右の●が毎回移動すればよいので
28-(Aの場合)ー(Bの場合)-(Cの場合)=28-1-(10-4)-1=20通り
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テーマ:中学受験
ジャンル:学校・教育

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