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渋谷教育学園渋谷中学 算数 問題解説&入試分析★2019年(H31年)

2019.04.23 22:40|入試問題分析(算数)
数理教育研究会の畠田です

今回は渋谷教育学園渋谷中学の第1回について書きます。


【入試資料分析】

第1回は比較的男子の倍率は低かったようです。
受験者数
男子…168名
女子…271名
合計439名

合格者数
男子…51名
女子…69名
合計120名

倍率
男子…3.29倍
女子…3.93倍
全体で3.66倍


【問題分析】
○大問1
小問集合です。
基本から少し毛が生えた程度なのでしっかりあわせたいところです。
(1)基本的な計算問題です。
約分されるであろうと思って整理して計算してください。
5625/10000×4/3×4/3-37/13×39/185=2/5

(2)渋谷から学校までを[240]mとすると
行きは[240]÷80=[3]分,往復で[240]×2÷120=[4]分より,帰りは[4]-[3]=[1]分なので速さは[240]÷[1]=240m/分です。
渋谷駅から渋谷教育学園渋谷中学までは歩いて550mくらいらしいですが計算しやすいように80と120の公倍数を使いました。

(3)7で割ると5余り,13で割ると11余る。
余りが同じだと解きやすいですが,不足が同じでも解きやすいのでチェックします。
どちらも不足が2なので7×13-2=89が条件を満たす一番小さい整数です。
ここから7×13=91ずつ増やせばいいので89+91×(16-1)=1454

(4)A 100gとB 300gを混ぜた400gから100gをとった食塩水はA 100÷4=25g,Bを300÷4=75gで出来ているので,A 100+25=125gとB 75gを混ぜて125:75=5:3で10+(15-10)×5/(5+3)=105/8 %

(5)原価を[100]とすると,定価[110],売価[88],利益は[110]×250+[88]×150-[100]×400=[700]
これが1750円なので[100]=1750÷7=250円

(6)前からA番目のグループは,分母がA+1の分数がA個続く群数列です。
1+2+3+…+13=91
1+2+3+…+13+14=105
なので14グループ目の100-91=9番目が100個目です。

1/2 | 2/3,1/3 | 3/4,2/4,1/4 | …
|14/15,13/15,12/15,11/15,10/15,9/15,8/5,7/15,6/15

分母が5になるものは
分母が5のグループの
4/5,3/5,2/5,1/5
分母が10のグループで分子が2の倍数の
8/10=4/5,6/10=3/5,4/10=2/5,2/10=1/5
分母が15のグループで分子が3の倍数の
12/15=4/5,9/15=3/5,6/15=2/5
よって
(4+3+2+1+4+3+2+1+4+3+2)/5=29/5


○大問2
立方体の切断の問題です。
基本的な処理の仕方を身につけていけていたら点数を堅くとれます。
(4)だけ少し難しいです。

(1)底面が3/4倍になるので体積も3/4倍
(2)底面が1/2倍,高さが同じで,すい体なので1/3倍になり,1/2×1/3=1/6倍
(3)
shibushibu_2019_m2-kaisetu1.jpg
(赤+青)の体積は立方体と比べて底面の面積が1/2倍,高さが2倍,すい体で1/3倍。(赤+青):赤=8:(8-1)=1:7より立方体から赤の部分を取り除いて
1-1/2×2×1/3×7/8=17/24

(4)
shibushibu_2019_m2-kaisetu2.jpg
平面と平面の交わりは直線であり、平面BDHと平面HIKはともに対角線BDの中心と点Hを通るので平面BDHと平面HIKの交わった線はその2点を結べばよい。
青の部分の体積は立方体と比べて底面積1/2×1/2×1/2倍,高さは同じで,すい体なので1/3倍。
立方体の半分から青の部分を引いて
1/2-1/2×1/2×1/2×1/3=11/24倍


○大問3
今回はこの問題をとりあげます。


○大問4
そんなに工夫の必要のない回転の問題です。
ポイントは扇形2つあるので1つずつ回転したらわかりやすい感じです。
点数をしっかりとりたいですね。

(1)扇形2つです。2×2×3.14×3/4×2=18.84cm²

(2),(3)
回転前の扇形2つと,回転後の扇形2つを描きます。
回転軸からの距離が一番近いところと一番遠いところを90度の弧で結べばできあがりです。
(2)は
shibushibu_2019_m4-kaisetu1.jpg
6×6×3.14×1/4+2×2×3.14×1/4×6=47.1cm²

(3)は
shibushibu_2019_m4-kaisetu2.jpg
4×4×3.14×1/4×2+2×2×3.14×1/4×4+2×2=41.68cm²



(問題)H31 渋谷教育学園渋谷中学 算数 大問3
ある国では,6桁のマイナンバーを全国民に割り当てています。この6桁のうち,十,百,千,一万,十万の位の数は登録した順番に決め,一の位の数は次の法則によって算出した数とします。

①(十万の位の数)×6+(一万の位の数)×5+(千の位の数)×4+(百の位の数)×3+(十の位の数)×2を計算します。

② ①で求めた数を11で割り,余りを求めます。

③ 11から,②で求めた余りを引くことで求められる数をマイナンバーの一の位とします。ただし,2桁になった場合には0とします。
例: 51457☐…5×6+1×5+4×4+5×3+7×2=80
80÷11=7…3
11-3=8
より,一の位は8となり,この国民のマイナンバーは514578に決まります。

(1)この国のマイナンバーとしてありえないものを,次のア~ウの中からすべて選び,記号で答えなさい。
ア.111111 イ.101010 ウ.200200

(2)割り当てられたマイナンバーが32☐479であるとき,☐に当てはまる数は何ですか。

(3)役所で,マイナンバーが173591であると申告したところ,ある位の数が1つだけ誤っていると教えられました。その位の数は,正しいものより3小さいことが分かっているそうです。正しいマイナンバーを答えなさい。

(4)この国においてマイナンバーを申告するときに,ある位の数が1つだけ誤っている場合,どの位の数が誤りであるかを必ず判断することはできますか。解答らんの「できる」,「できない」のどちらかに丸をつけなさい。また,その理由を答えなさい。



[解説]
マイナンバーのチェックディジット,検査数字を元ネタに作られた問題です。
マイナンバーのことを全く知らなくても正解できるかどうかと全然関係ありません。

(1)上から5桁の数字から③を計算して,一の位と一致しているかを考えます。

アは1×6+1×5+1×4+1×3+1×2=20
20÷11=1余り9より③は11-9=2と決まるが,111111は一の位の数が1になっているのでありえません。

イは1×6+1×4+1×2=12
12÷11=1余り1より11-1=10から③は0ですが、ちゃんと一の位は0になっています。

ウは2×6+2×3=18
18÷11=1余り7より③は11-7=4ですが,200200は一の位の数は0になっているのでありません。

よってです。

(2)(整数)+(整数)を11で割った余りは,(整数を11で割った余り)+(整数を11で割った余り)を11で割った余りと同じことを使います。
受験で重要なやり方です。
②を考えると
3×6+2×5+☐×4+4×3+6×2=52+☐×4
52を11で割った余りは52÷11=4余り8より(52+☐×4)を11で割った余りは(8+☐×4)を11で割った余りと同じです。
一の位は9より11-9=2から②の(8+☐×4)を11で割った余りは2になる必要があります。
つまり☐×4を11で割った余りが
(2+11)-8=5
になります。
そのような☐は4×4=16の4のみです。

(3)173591のうち誤っているのは上から5桁の部分か,一の位かの二つのパターンに分けて考えます。一の位が間違えてる場合を忘れそうなので注意してください。

まず②の計算は1×6+7×5+3×4+5×3+9×2=86,86÷11=7余り9

・上から5桁の部分に誤りがある場合
③の値は一の位が1より11-1=10が正しいことになるので,②の計算で正しくは余りが1大きくなるはずです。
①の計算は3×6=18より誤ることで最大で18小さくなったことに注意すると正しい①は
86+1=87か86+12=98の2つのパターンになります。
1大きくなることは無理
12大きくなるには12÷3=4より千の位が3小さかったことになるので
正しくは176591となります。

・一の位に誤りがある場合
一の位に誤りがあれば1+3=4ですが,②の値は9より③の値を計算すると11-9=2よりこの場合はないことがわかります。


(4) (3)の時点で3小さい条件がなければ176591か173592の可能性があるのできないことがわかります。
つまり
「できない」
理由…例えば173591は176591の他に173592の場合も考えられる

他にも②の計算で余りが1大きくなるように
例えば十万の位の数を2つ多くして2×6÷11=1余り1より373591など色々考えられます。

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テーマ:中学受験
ジャンル:学校・教育

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