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算数・数学 マメ知識No.8(直線が通過する正方形・立方体の個数)

2010.05.10 14:24|マメ知識集
では,今日はこんな話を。


たてに3個,横に5個正方形をならべてできる長方形があります。この長方形の対角線を1本引くとき,この対角線が通る正方形の数はいくつですか。

20100510-1.jpg
まぁ↑この図を見れば一目瞭然ですが(^o^;;,汎用性を持たせられるように算数っぽく考えてみましょう。
20100510-2.jpg
この対角線が,長方形の中の(正方形の辺によってできる)たての線,横の線を何回横切るかがわかれば,(その数+1)が,通過する正方形の個数になるはずです。(たての線,横の線を通過するたびに別の正方形の中に入るのですから。)
この長方形の中に,たての線は5-1=4(本)で,横の線は3-1=2(本)です。
また,3と5は互いに素(1以外の公約数を持たない)ですので,この対角線が,長方形内で正方形の頂点を通る(たての線と横の線を同時に横切る)ことはありません。
ですので,対角線がたての線,横の線を横切る回数は4(上の●印)+2(上の▲印)=6(回)です。
よって,通過する正方形の個数は6+1=7(個)となりますね。

同様に,
たて○個,横△個の正方形をならべて,○と△が互いに素な場合,対角線が通過する正方形の個数は
(○+△-1)個
となります。

(上と同じように考えると,(○-1)+(△-1)+1で求められますね。)
たて,横の個数が互いに素でない場合はどうなるでしょうか?自分で考えてみてください。(答えは次回に!)

では,これをヒントに次の問題を考えてみてください。

図のようにたて,横,高さ方向に3個ずつ,合計27個の小立方体を積み上げて作った大立方体があります。この大立方体にまっすぐな串をさして大立方体を貫通させるとき,この串で最大何個の小立方体を貫通させることができますか。

20100510-3.jpg
あ,もちろんさっきの問題と違って大立方体の対角線で串刺しにする必要はないんですよ?(それだったら明らかに3個ですよね。)
これも答えは次回!
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