「算数・数学 マメ知識No.8(直線が通過する正方形・立方体の個数)」のつづき

2010.05.12 21:07|マメ知識集
さて、前回のつづきです。
長方形のたて、横の個数が互いに素でない場合ですが、次の問題を考えてみましょう。


たてに15個,横に20個正方形をならべてできる長方形があります。この長方形の対角線を1本引くとき,この対角線が通る正方形の数はいくつですか。


これを前回と同様に、15+20-1=34(個)とやってしまうと間違いです。
この対角線が、たての線19本と横の線14本を通過すると言いたいところですが、
下の図のように、たて・横いずれも5(15と20の最大公約数)等分すると、対角線はその5等分した線の交点(格子点)を5-1=4(回)通ります。
20100512-1.jpg
ここでは、対角線がたての線と横の線を同時に通過することになりますので、
結局、対角線がたて・横の線を通過するのは、19+14-4=29(回)となります。
よって、通過する正方形の個数は29+1=30(個)です。
一般的に、このような問題で対角線が通過する正方形の個数は、
(たての個数+横の個数-(たての個数と横の個数の最大公約数))

となります。(たてと横の個数が互いに素な場合にも成立します。)

そして、もう一つの立体の問題。
今度は串が、大立方体の内部の面を最大でいくつ通過するかを考えてみましょう。
平面の場合と同様、(その面の数+1)が、貫通する小立方体の最大の個数になるはずです。
この串は最大で、たて方向に2面、横方向に2面、高さ方向に2面通過するはずです。
ということで、全部で2+2+2=6(面)を通過させた場合、この串は6+1=7(個)の小立方体を貫通しますね。
これ、図で描いて解こうなんて思うと、わけがわからなくなりますよね…。

さて,次回からは算数も関東の学校の入試問題に入りましょう!
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