H22年度入試問題分析(開成中・算数)

それでは今回は、開成中の今年の入試問題から。

問
図のような，1辺が1cmの正三角形を4つ使った2種類の平行四辺形A，Bと，1辺が1cmの正三角形を3つ使った台形Cを，それぞれたくさん作ります。1辺が4cmの正六角形の内部を，これらの平行四辺形と台形を合計26個用いてしきつめることができました。このとき，台形Cを何個用いたか答えなさい。

まず，「1辺が4cmの正六角形」の中に「1辺が1cmの正三角形」が何個入るかがわかる必要がありますね。
開成を受けるぐらいの子でしたら，「1辺が4cmの正六角形」の中に「1辺が1cmの正三角形」がビッシリ入っている図(下図1参照)も難なく描けるでしょうが，誰もそんな図描きませんよね。
下の図1を見てもわかるように，「1辺が4cmの正六角形」は「1辺が4cmの正三角形」が6つ集まったものです。
「1辺が4cmの正三角形」と「1辺が1cmの正三角形」の相似比は4:1ですので，面積比は当然16:1，
つまり，「1辺が4cmの正三角形」の中には「1辺が1cmの正三角形」が16個入ることがわかりますね。
よって，「1辺が4cmの正六角形」の中に「1辺が1cmの正三角形」は16×6＝96(個)入るわけです。

図1


この図の中に，パズルのようにA，B，C合計26個を入れようなんて思うと大変なことになります。
「1辺が1cmの正三角形」4個が集まってできたA，Bと，
「1辺が1cmの正三角形」3個が集まってできたCを，
合計26個使って，「1辺が1cmの正三角形」96個分の図形を作るのですから，
実はあとはただのつるかめ算ですね。
よって，Cの個数は
(4×26－96)÷(4－3)＝8(個)です。

「ほんとに，C8個とA，B18個でこの正六角形をうめることができるの？？」という，疑り深い方のために，こんな図を。

図2

結構きれいにうめることができますね。網かけをしている部分がCでうめた部分です。
(もっともこれだときれいさを重視し過ぎたあまり，Bは1個も使っていませんが(^o^;;。
でも，A2枚で作ったひし形の中をB2枚で置き換えることができますので，Bを増やすのは自由自在ですよね)。