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H22年度入試問題分析(開成中・算数)

2010.05.16 14:56|入試問題分析(算数)
それでは今回は、開成中の今年の入試問題から。


図のような,1辺が1cmの正三角形を4つ使った2種類の平行四辺形A,Bと,1辺が1cmの正三角形を3つ使った台形Cを,それぞれたくさん作ります。1辺が4cmの正六角形の内部を,これらの平行四辺形と台形を合計26個用いてしきつめることができました。このとき,台形Cを何個用いたか答えなさい。
開成算数図

まず,「1辺が4cmの正六角形」の中に「1辺が1cmの正三角形」が何個入るかがわかる必要がありますね。
開成を受けるぐらいの子でしたら,「1辺が4cmの正六角形」の中に「1辺が1cmの正三角形」がビッシリ入っている図(下図1参照)も難なく描けるでしょうが,誰もそんな図描きませんよね。
下の図1を見てもわかるように,「1辺が4cmの正六角形」は「1辺が4cmの正三角形」が6つ集まったものです。
「1辺が4cmの正三角形」と「1辺が1cmの正三角形」の相似比は4:1ですので,面積比は当然16:1,
つまり,「1辺が4cmの正三角形」の中には「1辺が1cmの正三角形」が16個入ることがわかりますね。
よって,「1辺が4cmの正六角形」の中に「1辺が1cmの正三角形」は16×6=96(個)入るわけです。

図1
開成算数図1

この図の中に,パズルのようにA,B,C合計26個を入れようなんて思うと大変なことになります。
「1辺が1cmの正三角形」4個が集まってできたA,Bと,
「1辺が1cmの正三角形」3個が集まってできたCを,
合計26個使って,「1辺が1cmの正三角形」96個分の図形を作るのですから,
実はあとはただのつるかめ算ですね。
よって,Cの個数は
(4×26-96)÷(4-3)=8(個)です。

「ほんとに,C8個とA,B18個でこの正六角形をうめることができるの??」という,疑り深い方のために,こんな図を。

図2
開成算数図2
結構きれいにうめることができますね。網かけをしている部分がCでうめた部分です。
(もっともこれだときれいさを重視し過ぎたあまり,Bは1個も使っていませんが(^o^;;。
でも,A2枚で作ったひし形の中をB2枚で置き換えることができますので,Bを増やすのは自由自在ですよね)。
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