H22年度入試問題分析(桜蔭中・算数)

それでは今日は桜蔭中学の算数の問題にいきましょう。

Ⅰ③
表に数の書いてあるカードが64枚重ねてあります。1番上のカードに1，2番目のカードに2，……，上から64番目のカードには64とかいてあります。
このカードを上から順に1枚ずつとり，裏返しながら左，右，左，右，……と2つの山に分けて重ねていきます。
64枚全部終わったら，右の山をそのまま左の山の上に重ねます。この山全体を裏返すと，表に数がかいてあるカードが64枚重なった状態になります。ここまでを1回の操作とします。
(ア)　この操作を1回おこなうと，1番上のカードに1，上から64番目のカードに64がかいてあります。このとき上から20番目のカードにかいてある数は□です。
(イ)　これに引き続きあと1回，つまり全部で2回の操作をおこなうと，上から20番目のカードにかいてあるカードは□です。
(ウ)　さらに引き続きあと1回，つまり全部で3回の操作をおこなうと，上から20番目のカードにかいてある数は□です。

(ア)，(イ)，(ウ)のそれぞれの場合について，並び方を順番に書いたりすると大変面倒ですね。
これは，よくある「トランプのシャッフルの問題」と同様の問題です。
ここで，1回目の操作を行ったときに，上から順にカードの番号がどのように変わったかを書いてみましょう。

実は，この問題でかけばいいのはこの表一つだけなんです。

(ア)
上から20番目のカードは，1から数えて20番目の奇数になりますので，
2×20－1＝39です。

つまり，1回操作をして20番目にくるカードは，その操作をおこなう前は39番目にあったということがわかりますね。

(イ)
上に書いたように，2回目の操作をおこなったときに20番目に来るカードは、1回目の操作をおこなった後39番目にあったカードのはずです。
1回目の操作をおこなった後に39番目にあったカードは，上の表より「2から数えて39－32＝7(番目)の偶数」とわかりますので，
2×7＝14です。

(ウ)
(ア)，(イ)からの続きで考えると，
「3回目の操作後に20番目にくる数＝2回目の操作後に39番目にくる数＝１回目の操作後に14番目にくる数」となりますので，
2×14－1＝27です。


つまり，元の表一つかいておけば、あとは上の赤の矢印のように順番に読んでいけばいいだけなんです。
これだと，4回目の操作をおこなったときに上から20番目のカードにかいてある数は53とすぐにわかりますね。