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「算数・数学 マメ知識No.9(素数)」

2010.06.18 03:22|マメ知識集
だいぶ間があいてしまいました…(^o^;;

今日は軽く素数の話。

素数とは,「1とその数自身しか約数を持たない整数」のことです。ただ,こう覚えると1が素数なのかどうかがわかりにくくなるので,素数を「約数が2個の整数」と覚えましょう(つまり,1は素数ではありません。1を素数に入れると素因数分解が1通りに決まらないので,素数に入れるわけにはいかないのですね)。

素数については,まだまだ謎が多く,「3と5」や「29と31」のような双子素数(差が2の素数の組)が無限に存在するのかどうかさえ,数学上では未解決の問題なのです。

さて,ではこんな疑問。

「そもそも素数自体は無限に存在するのでしょうか?それとも,有限個しかないのでしょうか?有限個だとすれば,最大の素数はいくつなのでしょうか?」

「え?そんなのわかるの??」と思われるかも知れませんが,これは実は案外簡単に示すことができます。答えは「無限に存在する」です。

素数が有限個だとしましょう。その有限個の素数を全部かけて1を足した数Aを作ってみます。すると数Aは,どんな素数で割っても1あまる数となってしまいますので,その数未満の素数で素因数分解することができません。つまり,数A自体が素数になってしまいます。しかし,これは矛盾ですよね?(だって,「すべての素数より大きな素数」が存在することになってしまうのですから)。なぜ,こんな矛盾が起きたかというと,そもそもの「素数を有限個とする」という仮定が間違っていたからです。つまり,素数が有限個とするとおかしなことが起こるわけですから,素数は無限に存在するはずです(このようにある仮定を立ててそこから矛盾を導き出す方法を背理法と言います。論理論証の問題などで,算数でも使いますね。)

わかりましたか?(^-^)
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