H22年度入試問題分析(東大寺学園中・算数)

2010.07.20 16:38|入試問題分析(算数)
今回は東大寺学園の算数の入試問題です。

3番
太郎君はマラソン大会の練習のために,池のまわりを何周もまわることにしました。太郎君は5分間走っては2分間歩き,また5分間走っては2分間歩く,ということを何度もくりかえします。ただし,太郎君が走るときの速さと歩くときの速さはそれぞれ一定です。太郎君がスタート地点からはじめると,1周目は10分,2周目は10分30秒かかりました。このとき,次の問いに答えなさい。
(1) 太郎君が走るときの速さと歩くときの速さの比を,最も簡単な整数の比で答えなさい。
(2) 3周目は何分何秒かかるか答えなさい。
(3) 池の周りを何周もまわるとき,1周するのに最大で何分何秒かかるか答えなさい。また,何周目ではじめてその時間がかかるか答えなさい。


(1)
下図のように走ったところを直線で,歩いたところを点線でかいて整理してみる。
東大寺3-1
1周目の10分のうち,走りは8分,歩きは2分,
2周目の10分30秒=10.5分のうち,走りは7分,歩きは3.5分とわかるので,
(走りの速さ)×8+(歩きの速さ)×2=(走りの速さ)×7+(歩きの速さ)×3.5
(走りの速さ)×1=(歩きの速さ)×1.5
となるので,
(走りの速さ):(歩きの速さ)=3:2
となる。

(2) 上図を使って考えると,3周目は10分10秒かかるとわかる。

ここで,(走りの速さ)=<3>m/分,(歩きの速さ)=<2>m/分とすると,この池1周の長さは
<3>×8+<2>×2=<28>(m)となる。
また,太郎君は5分の走り,2分の歩きの7分1セットで,<3>×5+<2>×2=<19>(m)進むことがわかる。

(3) 1周の時間を最大にするには歩きの時間をできるだけ多くすればよいのは直感的にもわかる。
歩きの時間は最大で4分(4分以上にしようとすると,1周の距離を越えてしまうことをちゃんと確認すること!)。
その場合,走りの時間は(<28>-<2>×4)÷<3>=20/3(分)→6分40秒
よって,最大の時間は4分+6分40秒=10分40秒

走りの時間が6分40秒になるのは,走りの5分のうち,後半1分40秒の間にスタート地点に戻った場合。
あとは,下の図を用いて,距離が<28>の倍数になったときの時間を丹念に調べあげる。
すると8周目を回り終わったときに,走りの5分がちょうど終わることがわかるので,答えは9周目
東大寺3-2
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