灘中算数第1日Part1(解答)(H23年度入試問題分析)

1日遅れましたが，解答編です。

灘中算数第1日11番
下の図で，三角形ABCは直角二等辺三角形で，AB，BCの長さは10cmです。辺BCの真ん中の点をMとして，三角形ABMをAMで折り返してできる三角形がADMです。AMとBDの交点をE，ACとMDの交点をFとします。AEの長さはEMの長さの(1)倍です。また，MFの長さは(2)cmです。

(1)
下図の青の三角形で考えましょう。
三角形AEBと三角形BEMと三角形ABMは相似な直角三角形とすぐにわかりますね。
よって，
AE：EB＝BE：EM＝AB：BM＝2：1
となるので，
AE：BE：EM＝4：2：1
よって，(1)の答えは4倍となります。

(2)では，(1)をうまく使いましょう。

(2)
DCを線で結び，
角BAMを[1]度，
AE＝<4>cm，BE＝DE＝<2>cm，EM＝<1>cm
として，
角の大きさや辺の長さを調べていくと，
三角形ABDと三角形MCDが相似比2：1の二等辺三角形とわかります(下図の赤の三角形)。
よって，
CD＝BD×1/2＝<2>cm
です。
また，角度の関係から
DCとAMは平行ということもわかります(角MDC＝角ADB＝角EMDなので，錯角が等しくなる)。
よって，上の緑の三角形が相似になるので，
DF：MF＝DC：MA＝2：5

MF＝BM＝5cm
なので，
MF＝5×5/(2＋5)＝25/7(cm)
となります。