灘中算数第1日Part2(H23年度入試問題分析)

今回も，今年の灘中学の問題から一気に3問いってしまいましょう！

灘中算数第1日2番
11の倍数である5桁の整数で，各位の数字がどの2つも異なっているもののうち，最も大きいものは□です。

できるだけ大きな数にしたいので，とりあえず上3桁を「987」とし，5桁の数を「987アイ」としてみましょう。
「一の位から数えて『奇数番目の数の和』と，『偶数番目の数の和』の差が0か11の倍数」であれば11の倍数となるので，
「9＋7＋イ」と「8＋ア」の差が0か11の倍数で，できるだけアが大きくなるものを考えればいいですね。
ちなみに答えは，98736です。

灘中算数第1日3番
2つの商品甲，乙があり，利益はそれぞれ原価の12%，22%で，甲，乙ともに，原価も利益も1円未満の端数はありません。また，甲を1つ売ったときと乙を1つ売ったときの利益は同じです。甲の原価として考えられる金額のうち，最も安いのは□円です。

整数条件の問題ですね。
例えば，ある団体の男女の人数比が最も簡単な整数比で13：12となる場合，男子の人数は13の倍数，女子の人数は12の倍数となるのはわかりますよね？この発想を使います。

甲の原価：利益の比は，最も簡単な整数比で[25]：[3]
乙の原価：利益の比は，最も簡単な整数比で<50>：<11>
この[3]と<11>が等しくなることから比合わせをすると，
甲と乙の原価の比は275：150となります。
よって，甲の原価は275の倍数となるので，最も安い場合275円ですね。

灘中算数第1日8番
下の図の三角すいは，面BCDが正三角形で，他の面はすべて合同な二等辺三角形です。三角形ABC，三角形ACD，三角形ADBの面をそれぞれア，イ，ウとします。この三角すいを平らな机の上に，最初アの面が机と接するように置きます。このときのAの位置をPとして，AをPに固定したまま，机と接する面が
ア→イ→ウ→ア→イ→ウ→ア→…
となるように，この三角すいを机の上ですべらないように転がします。x＝60°のとき，三角すいが6回転がってPのまわりを1周すると，アは最初に置いた位置にぴったりと重なります。アがはじめて最初に置いた位置にぴったりと重なるまでに，三角すいがPのまわりを2周するような整数xの値のうち，最も小さいものは□，最も大きいものは□です。

ややこしい話をしているように見えますが，
円周上を反射しながら一定の中心角ずつ進んでいく点の問題などで
同じような問題は見たことがある生徒が多かっただろうと思います。

この問題の場合，上記のような関係になり，題意より
転がった回数が3の倍数で，
回転数が2になればよいので，
転がった回数は「360の約数の3の倍数で，なおかつ奇数」となります
(偶数だと回転数の2と互いに素になりません)。
転がった回数の候補としては，3，9，15，45が考えられますが，
転がった回数が3の場合，□は120となり，xは240となり，これは不適です。
よって，xの最も小さい値は16(転がった回数が45の場合)，
最も大きい値は80(転がった回数が9の場合)となります。

次回は今年の灘中学の第2日の問題を扱っていきます。