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豊島岡女子学園中学校 算数 問題 解説&入試分析★2017年(H29年)

2017.05.01 18:25|入試問題分析(算数)
今回は豊島岡女子学園中学校第1回をとりあげます。

受験者数999人、合格者数397人

受験者平均は175.38/300
合格者平均は205.20/300

各教科の平均点は(受験者平均点,合格者平均点)の順で

国語(56.15,64.99)
算数(64.55,75.92)
社会(29.96,34.07)
理科(24.72,30.23)


各問題を見ていくと

大問1 (1)計算問題です、しっかり確実にあわせましょう。
(2)一の位が0か2、百の位は0以外という条件をしっかり確認しましょう。
(3)(練習できる人の人数)×(時間)でのべ時間を出し,人数で割って1人あたりの時間を求める問題です。
(4)A・Bの関係とB・Cの関係を繋げて,A・Cの関係を導き出します。
表形式で素早く整理して正解したいところです。

大問2 (1)割るという操作は商が整数である場合と考えられます。
24=2×2×2×3より、2で何回割り切れるか、3で何回割り切れるかを考えます。
(2)2人の年齢の和に注目して考えましょう。花子さんが20才のときを①年前とすると、そのときの2人の年齢の和は20+22-①=42-①,現在の2人の和は22+20+①=42+①,これらの合計である42-①+42+①=84才が①年前の2人の年齢の和の3倍となります。
(3)ニュートン算です。水そうの容量を[120]とすると、給水管は[120]÷40=[3]/分、排水管は[120]÷60+[3]=[5]/分となります。
(4)△ABGと△EFGの相似と△DCFと△IGFの相似からBFとIGとGCの長さを求めて、長方形から台形ABEFと台形DCGIと正方形EFGHを引くなどして求められます。難易度は違いますが、この問題は神戸女学院2006年5番の問題とほとんど同じ図でした。
標準的な問題なので、しっかり正解したいところです。

大問3 (1)違う濃度の食塩水を混ぜる基本的な問題です。
(2) (1)の結果からAとBを混ぜると6%になり、Cを混ぜても6%なので結局6%の食塩水200gに入ってる食塩の量を求めることになります。
簡単なので瞬殺しましょう

大問4 今回はこの問題を扱います。

大問5 (1)5人とも同じ個数なので、E,D,C,Bと順番に指名して3個ずつ持たせます。
(2)Eが1個になるのは,C・D・Eで合計1回だけ指名される場合です。A,A,A,Eと指名してCは4個となります。
(3)指名される人ごとのAとEのボールの増減を考えると,(指名される人[Aの増減・Eの増減]で)
A[+1,増減なし]  B[増減なし,増減なし] C[増減なし,+1] D[+1,+1] E[+1,+1]
となります。つまり,Aを指名せずに,Cをいかに多く指名するかがA<Eとするためのポイントになります。スタートではAが指名されているのと同じことですから,A→E→D→C→CでEの個数を+1にするしかありません。このとき、Bの個数は2個になります。
その場で色々試してみて、題意をつかんで答えるタイプになりますが、複雑ではないので出来るだけ正解したいです。

大問6 (1)六角柱から三角錐6つをとりのぞきます。三角錐の底面積は、正六角形の1/6となります。
(2)(高さ4cmの六角柱)-(底面から高さ4cmのところで切り落とした三角錐)×3-(底面から高さ8cmのところで切り落とした三角錐)×3で求まります。

大問1、大問2(1)(3)(4)、大問3をしっかり押さえ,後に解説する大問4をテンポよく正解し、大問5、大問6にしっかりと時間を割きたいですね。

(問題)H27年 豊島岡女子学園中学第1回 大問4
中心が同じ点である2つの円があり、大きい円は1周18cm、小さい円は1周9cmです。点Pは大きい円の周の上を時計回りに毎秒3cmの速さで動き、点Qは小さい円の周の上を時計回りに毎秒2cmの速さで動きます。最初、下の図のように、点P,点Qと円の中心Oが、この順に一つの直線の上にあり、点Pと点Qは同時に動き始めます。このとき、次の各問いに答えなさい。
tosi17m1.jpg
(1)点P,点Qが動き始めてから、3点O,P,Qが初めて一つの直線の上に並ぶのは何秒後ですか。
(2)3点O,P,Qを結んでできる三角形が初めて直角三角形になってから、次に直角三角形になるまでに何秒かかりますか。
(3)点P,点Qが動き始めてから180秒後までの間に、3点O,P,Qを結んでできる三角形が直角三角形になるのは全部で何回ありますか。



[解説]
(1)角速度を求めます。Pは1秒で360°×(3/18)=60°、Qは1秒で360°×(2/9)=80°進みます。Pを止めて考えると1秒でQが20°進むことになります。
よって180°になるには180°÷20°=9秒とわかります。

(2)Pを止めて考えます。
tosi17k1.jpg
動き始めは∠PQOが鈍角でQが進むと小さくなっていくので初めて直角三角形になるのは∠PQO=90°のときです。

tosi17k2.jpg
OPはOQの2倍より∠QOP=60°となります。
このとき、∠OPQは30°で最大になっていて90°にはなりません。

tosi17k3.jpg
次に∠QOPが大きくなっていって90°になるときが2回目の直角三角形です。
この間に進んだ角度の差が90°-60°=30°になればよいので30°÷20°=1.5秒とわかります。

(3)
Pを止めて考えます。
Qを180°進める間に出来る直角三角形は1回目と2回目に出来た2つです。
tosi17k4.jpg
1周で360°÷20°=18秒です。
Qが1周すると1回目の青の直角三角形をOPに対して線対称な位置の緑色の直角三角形
2赤い目の赤の直角三角形をOPに対して線対称な位置の紫の直角三角形
がそれぞれ出来ます。
1周で4回直角三角形ができることになります。
よって180秒で10周なので4×10=40回となります。


角速度の問題は、よく出題される単元です。
1点を止めて考えるという解法をしっかり身につけて、他の人に差をつけましょう。
がんばってください(畠田)

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雙葉中学校 算数 問題解説&入試分析★2017年(H29年)

2017.04.27 17:31|入試問題分析(算数)
今回は御三家の一つ、雙葉中学を取り上げます。

受験者数352人、合格数は119人で倍率は2.96となります。


各問題を見ていくと

大問1 (1)計算問題です、早く正確にあわせましょう。
(2)5万分の1と言うことは、面積は50000×50000=2500000000倍なことに注意してください。まず長さを5万倍して単位をkmにすると解きやすいですね。

大問2 (1)円同士が接しているときは,中心同士を結ぶというのが定石ですね。
(2) (1)の作図をもとにドーナツ型の5/6((1)の定石を守っていれば,正三角形ができるはずです)と円板1個分で計算しましょう。

大問3(1)まず仕事全体を㉔とおくと,A+Bで㉔÷3=⑧/時間の能力,B+Cで㉔÷4=⑥/時間の能力となります。AさんはCさん3人分の仕事をするので、B+C×3=⑧/時間ですから,B+C=⑥/時間と比べると,C=(⑧-⑥)÷2=①/時間の能力とわかります。あとは芋づる式にA=③/時間,B=⑤/時間とわかりますので,3人ならば㉔÷(①+③+⑤)=8/3時間かかります。
(2)3時間10分の間にBさんとCさんの2人で(⑤+①)×19/6=⑲の仕事が終わりますので,残りの㉔-⑲=⑤をAがしたということです。Aは⑤÷③=5/3時間働けばよいということですね。
基本的な仕事算の問題なので、素早く確実にあわせたいです。

大問4 今回はこの問題を扱います。

大問5 (1)グラフから
P上り:45分で42kmで56km/h
P下り:40分で42kmで63km/h
Q上り:150分で42kmで16.8km/h
と読み取れます。
Pの静水での速さは(56+63)÷2=59.5km/h
川の速さは59.5-56=3.5km/h
Qの静水の速さは16.8+3.5=20.3km/hとわかります。
(2)距離が同じなので速さと時間は逆比を利用します。
(Q上りの速さ):(川の速さ)=16.8:3.5=24:5より(Q上りの時間):(流された時間)=5:24なので29÷(24/(5+24))=24分です。
(3)グラフより(BC間P下りの時間)=40分、(BC間P上りの時間)=(AB間Q上りの時間)=45分です。よって、
P下りの速さ:Q上りの速さ=63:16.8=15:4ですから、(AB間P下りの時間)=45×(4/15)=12分、
P下りの速さ:P上りの速さ=63:56=9:8ですから、(AB間P上りの時間)=12×(9/8)=13.5分と求まります。
B地点にとまってた時間の合計は
(総時間)-(AB間P下り)-(AB間P上り)-(BC間P下り)×2-(BC間P上り)×2-(Cにとまってた時間)=250-12-13.5-40×2-45×2-(4+29)=21.5分とわかります。
速さと時間の逆比などにしっかりと慣れておき,素早く立式できるようにしておきたいところです。

大問1 大問2 大問3 大問4(1) 大問5(1)(2)までとることが出来たら合格に近づきます。

(問題)H29年 雙葉中学校・算数 大問4
1,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,31……のように、数字の1を1個以上使う整数を小さい順に並べます。
(1)1000は何番目の整数ですか。
(2)2017番目の整数を答えましょう。
(3)2017番目の整数までに、数字の1を何個使いますか。例えば、5番目の整数までには6個使います。


[解説]
(1)1から1000の整数から1が入っていない整数を取り除くことを考えます。
1が入っていない整数は0を含めると
千の位は0,2,3,4,5,6,7,8,9の9通り
十の位も9通り
一の位も9通り
だから0を取り除いて9×9×9-1=728個あります。
1000-728=272で272番目となります。

(2)
順を追って数えていきましょう。
まず、0~999では,1000-9×9×9=271個
1□□□は全て該当するので、ここまで1000+271=1271個
2□□□も271個あるので、ここまで1271+271=1542個
3□□□も271個あるので、ここまで1542+271=1813個
あと2017-1813=204個なので,4□□□の中で204番目を求めればよいですね。
40□□は100-9×9=19個あるので、あと204-19=185個
41□□は全て該当するので、あと185-100=85個
42□□~45□□に19×4=76個あるので、あと85-76=9個
後は順に調べて、4601,4610,4611,4612,4613,4614,4615,4616,4617の4617が答えとなります。

(3) (2)より2017番目の整数は4617です。
1○○○となる整数は1⓪⓪⓪から1⑨⑨⑨までの999-0+1=1000個
○1○○となる整数は⓪1⓪⓪から④1⑨⑨までの499-0+1=500個
○○1○となる整数は⓪⓪1⓪から④⑥1⑦までの467-0+1=468個
○○○1となる整数は⓪⓪⓪1から④⑥①1までの461-0+1=462個なので
1000+500+468+462=2430個となります。

雙葉は処理が少し複雑な問題もありますが、闇雲にやるのではなくて整理の仕方を学んで練習することで早く正確に解けるようになります。
がんばってください!(畠田)
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女子学院中学校 算数 問題 解説&入試分析★2017年(H29年)

2017.04.20 15:00|入試問題分析(算数)
今回は女子学院をとりあげます。

受験者数が652名、合格者は278名
で倍率は2.35倍になります。

合格最低点は非公表ですが低くても7割5分から8割を目標にしたいところです。

各問題を見ていくと

○大問1 (1)計算問題です、しっかりあわせましょう。
(2)図形問題です。円問題の基本どおり,周上の点を中心と結びましょう。
(3)正六角形を小三角形24個に分けて、㋐は5個分、㋑は中の正三角形が9個分なのでその1/4など素早く求めましょう。
(4)㋐、㋑、㋒は高さが等しいので(㋐の上):(㋑の上+下):(㋒の上+下)が面積の比になることから要領よく求めましょう。
(5)
jg17k1k.jpg
㋐は正五角形は内角の大きさは108°で図の緑の二等辺三角形を利用などして角度を求めます。㋑は正三角形を利用して求めます。㋒は図の赤線で線対称になっているので角を二等分することなどを利用します。正三角形が右上の辺にくっついているので気づきにくいかもしれませんね。
(6)話を整理すると(B4個分)+270×4+300円おこづかいを持っているので、270×4+300円でBを2個買うこと出来るが、3個は買えないことからB1個の値段の範囲を求めます。

大問2 (1)(AとBの速さの差)×(時間)=(列車Bの長さ)の関係で求めます。
(2)今度は(AとBの速さの和)×(時間)=(列車Aの長さ)の関係で求めます。
基本的な通過算なので素早く、完答したいところです。

大問3 22と59の目もりが重なったので差は59-22=37です。左に移動すると58-23=35で差は2小さくなります。差が13になるには(37-13)÷2=12だけ左に移動すればよいことがわかり、22+12=34と59-12=47と求まります。
重なる目もりの和が81ということを利用して和差算で解いてもよいですね。

大問4 (1)長針と短針が示す時刻に、(◎の数字)×6だけ時間を足します。
(2)長針は1分で6°、短針は1分で360°÷(60×6)=1°進みます。午後1時には短針と長針のなす角度が60°より(60°+180°)÷(6°-1°)=48分となります。
時計算をしっかり練習しておいて、満点をとりましょう。

大問5 (1)仕入れを[100]とおくと、定価は[125]、売価は[110]、利益は[10]。
利益は[10]=38円より、仕入れ値は[100]=380円です。
(2)定価で売ると利益は[25]=95円です。500個すべてを12%引きで売ると利益は38×500=19000円で、31084-19000=12084円少なくなります。1個12%引きから定価にとりかえると、95-38=57円高くなるので12084÷57=212個とわかります。
基本的な商売算、つるかめ算なのでよく練習しておいて、素早く正確に答えたいです。

大問6 今回はこの問題を扱います。

大問1で1個,大問4で1個程度の失点で6番に持ち込みたいところです。

(問題)H29年 女子学院中学 大問6
1辺が20cmの立方体のブロック8個が、直方体の水そうの中にあります。すべてのブロックの底面は、水そうの底か、または他のブロックの面とぴったりくっついています。この水そうに、水を一定の割合で入れます。
下のグラフは、「水を入れ始めてからの時間(分)」と「水面の高さ(cm)」の関係を表したものです。
jg17m1.jpg
(1)水そうの中の8個のブロックの様子を表した図として、ふさわしいものを下から選ぶと[  ]です。
jg17m2.jpg
(2)水そうの底面積は[    ]㎠で、1分間に入れる水の量は[    ]㎤です。
(3)グラフのⒶにあてはまる数は、[    ]です。


[解説]
(1)グラフの水面の高さに注目してみます。
20cmと60cmと80cmでグラフが折れ曲がっているので、同じ高さにあるブロックの個数が変化します。
まず高さが80cmで積まれている(あ),(う),(え)に絞れます。
このうち、20cmでブロックの個数が変化しているのは(あ)と(え)。
さらに、60cmでブロックの個数が変化しているのは(え)だけとわかります。

(2)水の入れる割合は一定で水面が20cmあがるのは0~3分では3分、3~13分では10÷2=5分かかることから次の図の部分の面積の比は3:5より③㎠と⑤㎠とおけます。
jg2017k2_20170414185649b53.jpg

この差⑤-③=②が立方体1個分の底面積になるので②=20×20より①=200㎠です。
よって水そうの底面積は(20×20×3)+③=1800㎠。
1分間に入れる水の量は最初3分で20cmあがったので、③×20÷3=4000㎤となります。

(3)
jg2017k3.jpg
図の赤い部分の体積は1800×80-20×20×20×8=80000㎠なので80000÷4000=20分とわかります。


女子学院はところどころに受験生が苦手にしそうな問題がありますが、何よりも標準的な問題を素早く正確に解くことが求められます。まずは定番問題をたくさん解いて、使いこなせる武器を増やすことで合格に近づきましょう。がんばってください!(畠田)
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桜蔭中学校算数 問題解説&入試分析★2017年(H29年)

2017.04.17 17:43|入試問題分析(算数)
今回は桜蔭中学を取り上げます。

受験者数501人、合格者数269人、補欠者数18人で倍率は1.86です。
平均点などは非公表ですが、算数は6割5分程度が目安です。

各大問を見ていきますと

大問1(1)計算問題です。きっちりあわせましょう。
(2)① 千の位から決めると10通り。その数字をAとする。百、十、一の位に使うA以外の数学の選び方は9通り。その数字をBとする。A(AかB)(AかB)(AかB)は2×2×2=8通り。そのうち全てAなのは1通りなので、10×9×(8-1)=630通りとなります。
② 0□□□となるのは,①と同様に考え,0(0かB)(0かB)(0かB)から0000を除いた9×(8-1)=63通り,1□□□も同様に63通りですから,2000,2002,2020の3個を足して63×2+3=129番目とわかります。
③ ②同様,9□□□となるのは63通り,89(8か9)(8か9)となるのは4通り,88□□となるのは88(8かB)(8かB)から8888を除いた9×(2×2-1)=27通り。ここまでで63+4+27=94通りですから,8800から2つだけ大きくすればよいですね。8800→8808→8811が答えです。類題は見かけますが、大学受験の数学でも出されるような問題であり難易度は高めです。
大問2 (1)(16+20)÷(2+2)=9秒。必ずあわせましょう。
(2)Pは長方形の周りを、Qは三角形の周りをぐるぐる回っていて辺GDが共有されています。PがDとGに到達する時刻、QがDとGに到達する時刻をそれぞれ計算して整理して確実に求めましょう。

大問3 (1)①Bのうち,水に触れる底面は12×12-3×3=135㎠なので135×1/27=5㎤/秒となります。②189秒間に入った水5×3×189=2835㎤のうち,Aに3×3×15=135㎤,Bに135×9=1215㎤,Cに残りの2835-135-1215=1485㎤が入ります。
Cのうち,水に触れる底面は21×21-12×12=297㎠ですから,1485÷297=5cmとなります。
(2)全体の容積2835㎤を120秒で割って2835÷120=189/8 ㎤/秒で水が増えるので、1つの蛇口から出る水の量は189/8÷3=63/8㎤/秒とわかります。難しくないので丁寧に計算して正解したいところです。

大問4 今回はこれを解説します。

大問5 (1)全体から三角すいを取り除きます。
(2)立方体アも一緒に切断して考えます。アの下面に現れる切り口を考えると,3cm3cmの直角二等辺三角形を底面とする三角すいが切り落とされることがわかるので,それを(1)から取り除けばOKです。
(3)同じようにイとウを一緒に切断して考えてみます。イの上面、イの下面(=ウの上面)、ウの下面に現れる切り口を考えると、斜線のついた直方体のちょうど半分が切り取られますので,それを(1)から取り除きます。
段ごとの図に切り口を書き込む練習がしっかりとできていれば得点源になりそうですね。

大問1の(1)、大問2、3、5を出来る限り完答して、大問1(2)と大問4がどこまでできるかの勝負です。

(問題)平成29年 桜蔭中学校・算数 大問4
ouin17m1.jpg
図のような立体1,2,3がどれも1個以上あります。立体1は円すい、立体2は円柱、立体3は底面の半径が4cmの円柱から底面の半径が2cmの円柱をくりぬいてできた立体です。
立体1の底面(下の面)は赤、立体2の底面(上下の2つの面)は青、立体3の底面(上下の2つの面)は黄色にぬられていて、どの立体もその他の面は全て白くぬられています。
このとき次の問いに答えなさい。

(1)立体1,2,3の1個ずつについて、白くぬられている部分の面積と、赤,青,黄色にぬられている部分の面積をそれぞれ求めなさい。
(2)全ての立体の赤くぬられている部分の面積の合計と、青くぬられている部分の面積の合計と、黄色くぬられている部分の面積の合計がどれも同じとき、全ての立体の白くぬられている部分の面積の合計は最も少なくて何㎠ですか。
(3)全ての立体の白くぬられている部分の面積の合計が5652㎠であるとき、立体1,2,3はそれぞれ何個ずつありますか。考えられる個数の組を全て答えなさい。ただし、立体1,2,3はどれも異なる個数あるとします。解答らんは全部使うとは限りません。


[解説]
(1)立体1
白:25×6×π=150×π=471
赤:6×6×π=36×π=113.04
立体2
白:2×3×π×20=120×π=376.8
青:3×3×π×2=18×π=56.52
立体3
白:(2×4×π+2×2×π)×15=180×π=565.2
黄色:(4×4-2×2)×π×2=24×π=75.36

(2)(赤の面積):(青の面積):(黄色の面積)=36×π:18×π:24×π=6:3:4
赤、青、黄色の部分の面積の合計が同じことから、個数の比は逆比となり
(立体1の個数):(立体2の個数):(立体3の個数)=2:4:3
なので白くぬられている部分の面積の合計が最も少なくなるのは立体1が2個、立体2が4個、立体3が3個の
150×π×2+120×π×4+180×π×3=1320×π=4144.8
です。

(3)5652=1800×πなので、
150×π×(立体1)+120×π×(立体2)+180×π×(立体3)=1800×π
全体を30×πで割ると、
5×(立体1)+4×(立体2)+6×(立体3)=60
となります。この式を満たすような個数の組み合わせを考えましょう。

まず(立体2)×4と(立体3)×6と60は偶数なので(立体1)×5も偶数です。
だから立体1の個数は偶数になります。

立体1が10個の時
同じように2で割って
(立体2)×2+(立体3)×3=5
この組み合わせは(立体2,立体3)=(1,1)

立体1が8個の時
(立体2)×2+(立体3)×3=10
(立体2,立体3)=(2,2)

立体1が6個の時
(立体2)×2+(立体3)×3=15
(立体2,立体3)=(6,1),(3,3)

立体1が4個の時
(立体2)×2+(立体3)×3=20
(立体2,立体3)=(7,2),(4,4),(1,6)

立体1が2個の時
(立体2)×2+(立体3)×3=25
(立体2,立体3)=(11,1),(8,3),(5,5),(2,7)

このうち、どれも異なる個数の組み合わせは
(立体1,立体2,立体3)=(4,7,2),(4,1,6),(2,11,1),(2,8,3)


桜蔭では図形問題を場合の数や比などと組み合わせた問題がよく出ます。しかし典型的な解法の組み合わせです。典型的な問題の練習することと、過去問で合成問題を解いて練習を積むことで合格に近づきます。頑張ってください!(畠田)
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武蔵中学校 算数 問題解説&入試分析★2017年(H29年)

2017.04.13 14:05|入試問題分析(算数)
今回は武蔵中学をとりあげたいと思います。

受験者数577 合格者数187で実質倍率3.1

教科別の平均点は(満点 合格者平均点 受験者平均点)の順に
国語(100 68.4 61.1)
算数(100 54.9 40.4)
社会(60 34.1 29.8)
理科(60 38.5 34.2)
合計(320 196.0 165.5)
合格最低点180/320

今年は算数の合格者平均点が例年より低めです。


各大問を見ていくと

大問1 ○比を利用する問題です。Bのやぎを⑮匹とおくと、Aは⑥+10匹、Cは⑳-17匹とあらわせます。Bにいるやぎが一番多いので「⑮<⑥+10」と「⑮>⑳-17」の両方を満たすような①を探しましょう。
計算も簡単なのでしっかりあわせてほしいですね。

大問2 今回はこの問題を扱います。

大問3 (1)(AとBの速さの和)×5分=1800mで求まりますね。
(2) (1)のついでにB、Cの速さも求めておきましょう。その上で,5分後から「AがBに追い抜かれる時間」と「AがCを追い抜く時間」を比較します。
(3) (2)と同様に,Aの向き変更の位置と方向を順に確認していきましょう。地道に作業をしていくだけの問題ですが,手間を考えると後回しでもよさそうです。

大問4 (1)36×37×38×39×40で36が3で2回、39が3で1回割り切れるので3回です。
(2)2枚の差は1以上になるので,3つ以上の連続する整数の積になります。3つ連続すればどれかが3の倍数なので1回は3で割り切れますね。武蔵では大問4に数学的な理由を求める問題がよくだされます。
(3)50は数字が大きい方のカードになるので
差が1は49×50×51で1点
差が2は48×49×50×51×52で2点

と書き足していって,7点となる場合を見つけましょう
(4)11が大きい方のカードの場合と11が小さい方のカードの場合の2つのパターンがあります。
11が大きい方のカードの場合は、(3)と同じように書き足していくと調べられます。
11が小さい方のカードの場合,23個の連続する整数の積となります。3の倍数は7個か8個。9の倍数は2個か3個ですから,9点にするためには「3の倍数は7個」,そのうち「9の倍数は2個」,更に「27の倍数は含まない」
この3つの条件を満たさなければいけません。残りのカードは11より大きい3の倍数のうち,27と54を23個の数の中に含まずにすむ,12、15、39、42です。

大問1完答、大問2(1)、大問3(1)(2)、大問4(1)(2)(3)までとることができたら十分だと思います。


それでは大問2です。

(問題)H29年 武蔵中学校 算数 大問2
<図1>において、2つの四角形ABCDと四角形EFGHはどちらも正方形で、AE=6cm、AF=10cmです。次の問に答えさない。(式や考え方も書きなさい)
musa17m1.jpg

(1)<図1>に正方形PQRDをかき加えてでてきたのが<図2>です。SQは何cmですか。
musa17m2.jpg

(2)<図1>に、正方形EFGHと同じ大きさの正方形IJKLをかき加えてできたのが<図3>です。図のア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、クの8つの点を頂点とする八角形の面積は何㎠ですか。

musa17m3.jpg


[解説]
(1)
musa17k1k.jpg
Qから辺AB,辺BCに垂線QN,AMを,Sから辺ABに垂線SOをおろします。
まず,QN=BC-QR,QM=AB-PQなので四角形QNBMは正方形になります。
また,三角形FBGと三角形EAFは合同であることとQM=QN=SOより四角形PAOSも四角形QNBMと合同な正方形になります。
後は青い正方形の1辺の長さがわかればSQが求まります。

musa17k2.jpg
三角形FBGで考えると、三角形FNQと三角形FBGは相似でFN:NQ=FB:BG=6:10=3:5なので
FN=③、NQ=⑤とおくとFB=FN+NB=FN+NQ=③+⑤=⑧
FB=6cmなので
⑧=6より⑤=15/4となります。
よくある問題ですね。
青い正方形の辺の長さが15/4cmとわかりました。

これでSQ=PM-PS-QM=(10+6)-15/4-15/4=17/2=8と1/2cm
とわかります。

(2)
musa17k3.jpg
正方形IJKLは正方形EFGHを赤い点線で折り返したものになります。

musa17k4.jpg
求め方はいくつか考えられますが,今回は八角形を赤い正方形アウオキと緑の三角形アイウ4つ分と考えます。
赤い正方形は辺の長さはSQと同じ長さ17/2cmです。次は緑の三角形。
JF=AF-AJ=10-6=4cm,JF:アウ=4:(17/2)=8:17より
底辺が17/2cmに対して高さは15/4×17÷(8+17)=51/20cm

だから八角形の面積は
17/2×17/2+(17/2×51/20÷2)×4=578/5=115と3/5㎠となります。


灘中学の平成25年第1日目大問9にも同じような問題が出題されました。
応用的な平面図形の問題は、補助線を引くことで典型的な解き方に当てはめてることはできないかを意識すると得点につながっていきます。
頑張ってください!(畠田)
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