麻布中学校 算数 問題解説&入試分析★2017年(H29年)

2017.04.01 11:09|入試問題分析(算数)
今回は麻布中学をとりあげたいと思います。

出願者数967人
合格者数382人
倍率2.53
合格最低点106/200

配点は国語60点算数60点理科40点社会40点です。

各問題を見ていくと

○大問1 計算問題なのでしっかりあわせてください。

○大問2 基本的な時計算です。確実に素早く答えをあわせたいです。

○大問3 (1)(1)だけなら,鶴亀算・面積図・白い部分の面積に注目など,いろいろな解き方があります。
(2)AP×6+BC×10=⑦、AP×12+BC×10=⑩からAP:BPが求まります。
(3)AP×6+BP×10=③,AP×30+BP×20=⑩からAP:BPが求まります。方針がつかみやすいので,しっかり点数を確保したいところです。

○大問4 (1)3分間走ると8分早くついたということは、1分早くつくには3÷8=3/8分間走ればよくなります。99mを走ると3/8分、歩くと1分遅くなることから1+3/8=11/8分かかるので99÷11/8=72m/分と求めることができます。
(2)走る速さ:歩く速さ=(11/8):(3/8)=11:3なので,水曜日に走った距離を⑪,歩いた距離を③とすると,木曜日は(⑪+③)÷2=⑦走って⑦歩いたことになります。
つまり,④を走るか歩くかで4分の差になりますので,自宅から学校までの⑭を走るか歩くかで14分差。
かかる時間の比は速さの逆比で3:11ですから,14×11/8×72=1386mとわかります。
(1)(2)どちらも問題文に与えられてることをどう使えばよいか、状況図やダイアグラムで整理する練習をしっかりしておきましょう。

○大問5 (1)AとBの水の量の比が1200:600=2:1より必要な角砂糖の個数の比は(2÷4):(1÷3)=3:2でAは3個,Bは2個になります。
(2)入れる角砂糖の合計個数は2+10=12個で,Aに2個以上,AにBよりもたくさん入れるということですから,
(A,B)=(2個,10個),(3個,9個),(4個,8個),(5個,7個)の組み合わせが考えられます。
このうち,10回目の操作[2]で初めて同じ濃度になるものは入れた角砂糖の個数が互いに素でないといけないので(5個,7個)しかありません。
よって,ア:イ=(4×5):(3×7)=20:21となります。
(3)どちらも6.25%より水は93.75%で合計1800gなので,必要な角砂糖は1800÷0.9375-1800=120gになります。
4×A+3×B=120gとなるような個数の組み合わせは,
(A,B)=(27個,4個),(24個,8個),(21個,12個),(18個,16個),(15個,20個),(12個,24個),(9個,28個),(6個,32個),(3個,36個)ですが,
合わせて2+30=32個以上入っていて,互いに素になっている組み合わせは(9個,28個)のみです。
よってウ:エ=(4×9):(3×28)=3:7となります。
(1),(2),(3)とも麻布でよく出る濃度と不定方程式の組み合わせです。
対策をたてやすいので、バッチリ解いて差をつけましょう。

○大問6 今回はこの問題を扱います。

大問1,2(1)(2),大問3(1),大問5(1),大問6(1)この辺りを確実に押さえ,3番・4番・5番の残りの問題からしっかり稼げるかの勝負という感じでしょう。

(問題)H29年 麻布中学校 算数 大問6
111,1121のように,1,2の2種類の数字だけからなる整数を考えます。このような整数Aに対し、以下の規則で定める整数を[A]と表します。


(規則1) Aが1桁の整数1,2の場合,[1]=2,[2]=1とします。
(規則2)



Aが2桁以上の整数で一番大きな位の数字が1の場合、つまり、Aが1Bと表せるときは、[A]=Bとします。例えば
[112]=12
[12112]=2112
です。
(規則3)





Aが2桁以上の整数で一番大きな位の数字が2の場合、つまり、Aが2Bと表せるときは、[A]=[B][B]とします。ただし、[B][B]は[B]を2つ並べてできる整数を表します。例えば
[22]=[2][2]=11,
[21121]=[1121][1121]=121121,
[2211]=[211][211]=[11][11][11][11]=1111
です。

このとき、以下の問いに答えなさい。

(1)[2112],[2212]を求めなさい。
(2)[A]=22となる整数Aは3つあります。このようなAをすべて求めなさい。
(3)[A]=Aとなる整数Aは1つだけあります。このようなAを求めなさい。
(4)次の条件をともにみたす整数Aをすべて求めなさい。ただし答の欄はすべて使うとは限りません。
●Aは6桁以下の整数です。
●[A]は292で割り切れる8桁の整数です。


[解説]
(1)[2112]=[112][112]=1212,[2212]=[212][212]=[12][12][12][12]=2222

(2)
22=[1][1]=[21]
22=[12][12]=[212]
22=[122]
21,212,122の3通りが考えられます。

(3)[ ]内の左端が1になると[ ]がなくなるので,1が初めて現れるのは左から数えて何番目かで場合分けして考えてみましょう。

Aが1を含まないとき [22222…]は1111…になるので不適

A=1Bのとき
[A]=[1B}=Bとなり[A]=Aとはなりません。

A=21Bのとき
[21B]=[1B][1B]=BBですから、[A]=Aとなるには、BB=21BなのでB=21となればよいです。
よって[A]=Aとなるのは1つだけなので、A=2121


一応他のものも調べてみると
A=221Bの時
[221B]=[21B][21B]=[1B][1B][1B][1B]=BBBBで[A]=AとなるにはBBBB=221BでBBB=221となり無理です。
A=2221B、22221B…と調べても同様に無理とわかります。

(4)
★Aが1を含まないとき
111111は292では割り切れないので不適

★A=1Bのとき
[1B]=BでBが8桁となるとA=1Bは9桁になるので,
Aが6桁ということと矛盾します。

★A=2Bのとき
[2B]=[B][B]でBは5桁以下,[B]は4桁になりますね。
291は素因数分解すると292=2×2×73ですから、ひとまず[B][B]が4の倍数になるものを考えて、
そのうち73で割り切れるものを選ぶことにしましょう。

今回,各位には1と2しか使えないので下2桁は12のみです。
よって,[B]=1112,1212,2122,2212の4つに絞れます。

[B]=1112のとき、[A]=11121112でB=11112
[B]=1212のとき、[A]=12121212でB=11212かB=2112
[B]=2112のとき、[A]=21122112でB=12112
[B]=2212のとき、[A]=22122212でB=12212

[A]はいずれも73で割り切れますので,A=211112,211212,22112,212112,212212となります。

(注…実は73は10001を素因数分解した73×137という形に出てくる,算数オリンピックなどでよく取り上げられる数です。
この性質を使うと,例えば先ほどの8桁の数も
11121112=1112×10001=1112×73×137
12121212=1212×10001=1212×73×137
21222122=2122×10001=2122×73×137
22122212=2212×10001=2212×73×137
というように,簡単に73の倍数であるということが確認できます。)


麻布の最後の問題は,解き方を知っているような問題ではなく,問題文に従って作業をすることで法則をつかみながら解くタイプの問題が多いです。
そのようなことを意識しながら(2)(3)辺りまで正解できるような力をつけていくことが合格に近づく道です。
頑張ってください!(畠田)


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筑波大学附属駒場中学校 算数 問題解説&入試分析★2017年(H29年)

2017.03.25 15:22|入試問題分析(算数)
自由が丘校の畠田です。
今年も関東の記事を更新していきますので、よろしくお願いします。

今回は筑波大学附属駒場中学校の問題です。
受験者数591人で合格者127人の倍率4.66倍
算数、国語、理科、社会、調査書、各100点ずつの500点満点
最高475点、最低371点
算数は大問4問に対して40分という短い時間設定ですが、難易度も高く、合格最低点も高いので、素早く正確に解く力が求められます。

今年も例年通り,簡単な場合で実験して規則性を見つける問題や、過去問でよく見られる論法が出題されました。
大問1は甲陽の2004年1日目4番でほとんど同じ問題が出ています。
過去問対策に加えて,様々な良問をしっかりと解いてこれたかが、大きく影響したと思います。
  
それぞれの問題を見ていくと
○大問1 以前解説を書いた2015年度の大問3と同じ考え方を使います。
過去問を研究しておけば、よりスムーズに解くことができたと思います。
(1)約数の個数が奇数、つまりは平方数の番号になります。
(2)素因数分解して100以下の約数の個数だけ開閉されます。101は平方数ではないですが,開いたままになることに注意しましょう。
(3) (2)が誘導になっています。101番以上のロッカーの扉は平方数の場合に閉じていて、平方数でない場合に開いてることになります。
つまり
(100以下の平方数である番号の個数)+(101以上の平方数でない番号の個数)
ですね。
甲陽の2004年1日目4番がほとんど同じ問題で、解いたことある人は有利だったと思います。

○大問2 『白い小立方体と赤い小立方体を8個組み合わせて大立方体を作ると,何通りできますか』というような問題に取り組んだことがあればやりやすかったかもしれないです。
鏡像の関係になる場合を同じとする場合と、異なるとする場合があり、この問題では同じとすることにも注意してください。
(1)一つの頂点は3回カウントされるので、3で割ると1の個数が6÷3=2個とわかります。(イ)では「隣どうし」「正方形の対角線」「立方体の最遠点」の3パターンを考えればよいですね。
(2)1の個数が12÷3=4個なので、8つの頂点から4つ、1の場所を選ぶと何通りできるかです。

○大問3 今回はこの問題を扱います。

○大問4 紙を切って広げる問題は2007年度にも出ています。
操作を重ねるに従い,『元の正六角形』→『小正六角形6個』→『更に小さい正六角形36個』となります。
問題文に下書き用の図があるので、実際に書いてみるような練習を普段からしておきましょう。


大問1、大問2を完答
大問3(1),(2) 大問4(1),(2)まで点数をとることが出来れば合格点です。


それでは大問3です。
(問題)平成29年 筑波大学附属駒場中学 算数 大問3番
図のように、同じ大きさの正三角形をしきつめて、それぞれの三角形に規則的に1,2,3,4,…と数を書きこみます。
例えば、5は3段目の左から2番目の三角形に書かれています。
また、4段目の左から5番目の三角形に書かれている数は15です。
次の問いに答えなさい。
mondai1.jpg
(1)10段目の一番左にある三角形に書かれている数を答えなさい。

(2)2017が書かれている三角形は、何段目の左から何番目の三角形ですか。

(3)しきつめられた図形の一部で、6個の正三角形からなる正六角形に注目し、その中の6つの数のうち最も大きい数と、6つの数の和を考えます。
例えば、右図の太線で囲まれた正六角形において、6つの数のうち最も大きい数は15であり、6つの数の和は61です。
6つの数の和が610であるとき、6つの数の中で最も大きい数を答えなさい。
mondai2.jpg



[解説]
(1)1段目は1
2段目は2×2-1=3
3段目は3×3-2=7
4段目は4×4-3=13

10段目は10×10-1=91

(2)一番右にある三角形はその段の平方数で
44×44=1936<2017
45×45=2025>2017
より45段目にあります。
45段目の一番左にある三角形に書かれている数は2025-44=1981
で2017よりも小さいですから,45段目の上向きの三角形に書かれているということです。
左端から数えて,上向きの三角形が2017-1981+1=37個,
下向きの三角形が37-1=36個並んでいますから,
左から37+36=73番目とわかります。

(3)複雑な問題に取り組む際,簡単な例を3つ4つ書き出して,そこから規則性を
発見してスピーディーに解くというのは筑駒に代表される,最難関校で求められる能力です。

例の正六角形にあわせて、一番右にある正六角形を上から求めて
kai1.jpg

28,61,106,163
これの差を求めると
33,45,57
と12ずつ増えていくので

28+33+45+57+69+81+93+105=511<610
28+33+45+57+69+81+93+105++117=628>610

より上から9つ目の正六角形の左にあることがわかります。

正六角形は左に一つ移動させるとどのマス目も1ずつ減って6小さくなるので
(628-610)÷6=3
よって右端の正六角形から3つ左にずらせばよいということです。
右端の正六角形の中で最も大きい数は11×11-1=120ですから,
120-3=117とわかりますね。

筑駒の規則性の問題は,ある程度書き出したところで見切りをつけて予想しながら
動き出さないと時間不足に陥ってしまう可能性があります。
過去問演習はきちんと時間を測って,この見切りのさじ加減を身につけるという
意識で取り組みましょう。これが必ず大問内最後の小問での差に繋がってきます。
頑張ってください!

(畠田)
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2017(H29)入試分析 算数 関西学院中等部 第2日

2017.03.23 15:33|入試問題分析(算数)
今回は関西学院中学部(第二日)の問題を取り上げます。

各問寸評
大問1 計算問題。(4)の逆算も難易度は高くありません。全問取りましょう。
大問2 (1)円グラフ(2)数の性質(3)整数条件+鶴亀算(4)円の周長と速さの問題(5)平面図形の面積
    (4)はイメージがしにくいということで,実質の難易度よりも正解率は低く出そうです。
    5問中3問は取りたいところです。
大問3 数列の問題。規則に気付きにくいので正解率はかなり低そうです。
    今回はこれを取り上げます。
大問4 比・割合の問題。このレベルの問題をしっかり合わせることが大切です。
大問5 図形の平行移動と重なり。頭が疲れた状態で解くとしんどいです。前半のきつい問題を後回しにして,
    できるだけフレッシュな状態で取り組みたいですね。(1)だけでもしっかりと確保したいところです。
大問6 立体図形の展開図。太線は全てつながっている&どの正方形にも必ず1本の対角線を引くということに
    気づかなければ,なかなかしんどい問題です。

(問題)H29 関西学院中学部・算数(第2日) 大問3番
次のように整数をある規則で並べていきます。

0,1,3,6,8,9,10,12,15,17,18,19,…

2017番目の数を求めなさい。


フィボナッチ数列でもなし,抜けている数(2,4,5,7,11,13,14,16,…)に注目してもイマイチ…
ってことで,前の数との差に注目してみましょう。順番に差を拾ってみると,
1,2,3,2,11,2,3,2,11,…
と5個区切りの等差数列になっています。
2017番目の数なので,間の数は2016個。
2016÷5=403セット…1個ですから,0+(1+2+3+2+1)×403+1=3628となります。

差が5個区切りなので,元の数列も5個ずつ区切って群数列で考えてもよいですね。
①  0, 1, 3, 6, 8
②  9,10,12,15,17
③ 18,19,21,24,26
 ・
 ・
 ・
2017÷5=403セット…2個ですから,404セット目の2番目の数,(404-1)×9+1=3628となります。

数列の問題では,規則が見つけられなければどうしようもなくなってしまいます。そうならないように,
★前の数との差を並べてみる
★前の数の何倍かを並べてみる
★フィボナッチやトリボナッチを疑ってみる
★分母(分子)をそろえて分子(分母)を眺めてみる
★分子は分子,分母は分母,整数部分は整数部分で別々に眺めてみる
★区切ってみる
などなど・・・
変な数列だなと思うものに出会うたびに使える武器を増やしていきましょう。
その積み重ねが最終的に対応できる問題幅の差に繋がります。(池)
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2017(H29)入試分析 算数 関西学院中等部 第1日

2017.03.21 14:26|入試問題分析(算数)
関西シリーズもいよいよあと2回。今回は関西学院中学部(第一日)の問題を取り上げます。

入試関連数値の推移は,
■倍率
男2.1倍⇒1.7倍⇒1.6倍⇒1.6倍⇒1.8倍
女1.8倍⇒1.9倍⇒1.9倍⇒2.0倍⇒1.7倍
■合格最低点
男315点⇒322点⇒298点⇒290点⇒313点
女317点⇒337点⇒323点⇒332点⇒314点
■算数平均点
男114点(60点,55点)⇒124点(61点,63点)⇒106点(53点,53点)⇒109点(59点,51点)⇒115点(59点,56点)
女111点(58点,53点)⇒122点(61点,60点)⇒107点(53点,54点)⇒108点(57点,51点)⇒119点(61点,58点)

高槻共学化の影響か,男女の倍率が逆転しましたね(^^;

各問寸評
大問1 計算問題。(1)~(4)まで,普通の計算です。全問取りましょう。
大問2 (1)倍数算(2)面積(3)濃度(4)過不足算は全問取らないといけません。
    (4)は苦手とする人もいるのでしょうが,定番なので必ずできるようにしておきたいですね。
    (5)は規則性の文章題で難易度はそれほど高くないのですが,計算ミスなどが出るのかな…
大問3 場合の数(点移動)。定番の問題なので,できてほしいところ。
大問4 影の問題。これも定番ですが,図が描けない→解けない という人が多い問題です。
大問5 水入れ問題(グラフ付き)。今回はこれを扱います。
大問6 (1)は必須。(2)まで取れればおつりが来ます。(3)はできなくてもOK。
    「2回目に出会う」に追い越しは含めるのかで解答が分かれそうですね。
    ちなみに私は含めないと判断しましたが,含めると判断する算数の先生もいました。

(問題)H29 関西学院中学部・算数(第1日) 大問5番
図のような2つの直方体を重ねた水槽があり,左右の側面に平行な長方形のしきりで,底面が2つの部分に
分けられています。この水槽に蛇口から毎分0.6Lの水を入れます。グラフは,空の水槽に水を入れ始めてから
いっぱいになる14分までの時間と,(ア)の部分の水面の高さの関係を表したものです。グラフの①にあてはまる
数を求めなさい。
2017関学01


水入れ問題ですから,まずは正面から見た図を描きましょう。
奥行きが一定ですから,体積ではなく,面積で計算するほうが数が小さくて楽ですね。
毎分0.6L=毎分600cm^3は正面からの面積に直すと600÷10=60cm^2/分です。
ここに分かっている長さやかかった時間を書き込んでいきましょう。
2017関学02
まずはここまで書き込むことができます。長方形の面積がわかっていて,縦横の一方がわかっていれば,
他方を求めることができますね。
2017関学03
24cmと21cmから,㋐の長方形の縦の長さが3cmと求まり,そこから芋づる式に㋐の面積⇒㋑の面積がわかります。
2017関学04
つまり,㋑の長方形の縦の長さが126÷(10+18+14)=3cmなので,全体の深さは24+3=27cmとなります。

ラ・サール中学校のところでも書きましたが,水入れの問題は色々な道筋が出てきます。
今回も段のところに注目したり,横幅の比に注目したりと色々な解き方が考えられますが,
まずは前からの図を描き,縦×横=面積になっているということを当たり前に使えるようにしておきましょう。(池)

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2017(H29)入試分析 算数 神戸海星女子学院中学校(B日程)

2017.03.19 09:58|入試問題分析(算数)
今回は神戸海星女子学院中学校(B日程)の問題です。

受験者数92人に対して合格者33人。
ただ,合格者数はA日程との重複を除いての人数とのことです。

各問題を見ると…
[1] (1)単なる計算問題。正解必須。
  (2)比のかけ算の問題。しかもりんごとグレープフルーツの出現順番が途中で逆転するので,混乱する子が
   出ること必至。
  (3)縮尺の問題。この辺りはしっかりと取っておきたいです。
  (4)立方体と表面積の関係。これも当然取っておきたいですね。
  (5)角度の問題。定番なのですが,角度のマークが×になっているので,ちょっと見にくいかも・・・?
  (6)三角形の個数数え。ここは取れるかどうかが重要そうです。落ち着いてカウントしたいところ。
[2] 速さの問題。問題自体は非常にいい感じですが、問題文が読み取りにくいので,
  難易度以上に正解率が低そうです。
[3] 円の転がり移動。定番の問題なのでここは取っておきたいところです。
[4] 商売問題。(1)で問われていることがわかりにくいかもしれません。(2)だけでも取りに行けばいいのですが…
[5] 比と和差の文章題。今回はこれを取り上げます。
こうやって書いてみると,確実に点数を取れそうなところが非常に少ないですね。
点数情報がどうなっているのか知りたいところです。

では、5番を見てみましょう。
(問題)H29 神戸海星女子学院中学校・算数(B日程) 大問5番
115人の生徒がいる学校で4回のボランティア活動がありました。
第1回の参加者と第4回の参加者の合計人数は,第2回の参加者と第3回の参加者の合計人数の1.24倍でした。
第2回の参加者と第4回の参加者の合計人数は,第1回の参加者と第3回の参加者の合計人数の1.1倍でした。
第3回の参加者と第4回の参加者の合計人数は,第1回の参加者と第2回の参加者の合計人数の0.75倍でした。
次の問いに答えなさい。
(1) 第1回から第4回までのそれぞれの参加者の合計人数は,第1回の参加者と第2回の参加者の合計人数の
  何倍ですか。
(2) 第1回から第4回までのそれぞれの参加者の人数を答えなさい。


(1) 回数と人数の表記が混ざるとややこしいので,1,2,3,4回のそれぞれの参加者数をA,B,C,Dと表すことにします。
  問題文の内容をそのまま式に表すと,
  (A+D)=(B+C)×1.24 ⇒ (A+D)=(B+C)×31/25 ⇒ (A+D)=[31],(B+C)=[25] ⇒ A+B+C+D=[56]
  (B+D)=(A+C)×1.1 ⇒ (B+D)=(A+C)×11/10 ⇒ (B+D)=<11>,(A+C)=<10> ⇒ A+B+C+D=<21>
  (C+D)=(A+B)×0.75 ⇒ (C+D)=(A+B)×3/4 ⇒ (C+D)=③,(A+B)=④ ⇒ A+B+C+D=⑦
  つまり,[56]=<21>=⑦なので,これらを【168】で比合わせしましょう。
  A+B=【96】,A+C=【80】,A+D=【93】,B+C=【75】,B+D=【88】,C+D=【72】となりますので,
  【168】÷【96】=1.75倍です。

(2) 先ほどの比合わせの結果からB-C=【96】-【80】=【16】なので,
  B=(【75】+【16】)÷2=【45.5】,
  C=(【75】-【16】)÷2=【29.5】,
  A=【96】-【45.5】=【50.5】,
  D=【88】-【45.5】=【42.5】
  となります。人数ですから,いずれも整数でないとだめですが,115人をこえてはいけないので,
  【1】=2人と決まりますね。よって,
  第1回=【50.5】=101人
  第2回=【45.5】=91人
  第3回=【29.5】=59人
  第4回=【42.5】=85人が答えです。
  
  問題文で似たような文章が繰り返されているので読み取りにくく,実際の難易度よりもきつかったのではないかと
  思います。こういうときに線を引きながら読んだり,文章に区切り線を入れながら読んだりするなどの工夫が
  できるかというようなこともしっかりと点数を取るための重要なテクニックになりますよ。
  普段からそういうところにも意識を向けておきましょう。(池)
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