「数理教育研究会」スタッフブログ

今回は栄光学園聖中学の算数をとりあげます

【入試資料分析】

受験者数は780人で合格者数263人の実質倍率2.97倍。
合格最低点141/240、合格者平均点154.5/240

各教科の平均点は(受験者平均点/合格者平均点)の順で
国語70点満点(36.5/41.9)
算数70点満点(38.1/47.9)
理科50点満点(32.0/36.8)
社会50点満点(24.4/27.49)

ここ1,2年倍率が高めで例年程度の平均点となりました。

【問題分析】
大問１…平均の問題です。(1)は典型問題です。(2)は残った整数の和が600ということですが1つ取り除いてもそんなに大きさはかわらないので1から最後まで整数を足した和が600付近を考えればよいことになります。(3)目星をどのようにつけるかです。残った整数の平均は440/13というように分母が13なので残った整数は13の倍数個ということがわかります。そして平均値は440/13とある程度大きくなければなりません。そして1つ取り除いてもあまり平均値はかわりません。このことから,1から(13の倍数)＋1個までの平均値が440/13に近いものを考えればよく
440/13＝34.…の2倍は68で65＝13×5より66個で考えたら良さそうだとわかります。
1つ取り除いても平均値はあまりかわらないという、そういう見方が出来ているかが問われいています。

大問２…普通の時計算と違い秒針まで考える問題です。しかし(1)(2)については時針と分針でやったことを応用すればよいので考えやすいと思います。
(3)は時針と分針が重なる度に(2)の②で求めた角度だけ秒針がずれていきます。誘導になっていたわけです。全て調べるのは大変ですが、0時から逆再生しても角度が同じことを考えると半分調べればよいことがわかります。(4)も(3)が誘導になっているであろうと思うので、秒針を戻したり、進めて時針や分針と重なる場合を考えればよくなります。時計算を応用させることと、誘導をいかに使うかです。

大問３…反射の問題なので線対称移動していけばよいです。
そして比で求めることになります。
しかし(4)については対象移動したときにどの辺が対応しているかしっかり考えないといけないので深い理解と考察が必要です。

大問４…今回はこれを扱いますす。

(問題)栄光学園中学 算数　大問４ (4) (5)
図1のような、16枚のパネルと8つのボタンA,B,C,D,E,F,G,Hがあります。最初は、すべてのパネルに「○」が表示されています。


ボタンA,B,C,Dはそれぞれのボタンの下に並ぶ縦4枚のパネルに対応し、ボタンE,F,G,Hはそれぞれのボタンの右に並ぶ横4枚のパネルに対応しています。各パネルは、対応するボタンが押されるたびに、○→△→×→○→△→×→○→…と、表示されている記号が変化していきます。
例えば、最初の状態から、ボタンAを押すと図2のようになり、さらにボタンE，ボタンAの順番で押すと，図3,4のように変化します。



(4)最初の状態から，ボタンA,Bは1回も押さず、ボタンCは1回，ボタンDは2回押しました。EからHのボタンはどのように押したか分からないとき、○が表示されているパネルの枚数として考えられるものをすべて答えなさい。

(5)最初の状態から何回かボタンを押したとき，〇が表示されているパネルの枚数として考えられるものをすべて答えなさい。


[解説]
(1)と(2)と(3)は解説は省略させてもらいます。

(4)
Aは0回、Bは0回、Cは1回、Dは2回を押すと
横の列のボタンを何回か押すと

○○△×の○が2個の場合
△△×○と××○△の○が1個の場合

になります。
ということは○の個数は4つ横の列の○の個数を考えて
1,1,1,1の時，4個
1,1,1,2の時，5個
1,1,2,2の時，6個
1,2,2,2の時，7個
2,2,2,2の時，8個
となります。
よって4,5,6,7,8が考えられます。


(5) (4)では
縦の列のボタンが0回、0回、1回、2回の組み合わせの時に横の列のボタンを押すと

○○△×の○が2個の場合
△△×○と××○△の○が1個の場合

となりました。
何故このような問いがあったのかを考えると、縦の列のボタンの回数の組み合わせによって横のボタンを押した時に○の増え方がかわるからです。
ということは同じように他のパターンを考えていけばよいことになります。

(2)の考察により縦の列のボタンの回数の組み合わせは
1回,1回,2回,0回なども0回,0回,1回,2回の場合と出来る○の個数は同じになります。

よって縦列のボタンの回数の数字が3個あるパターンはこれで全部です。

・縦列のボタンの回数の数字が2個の場合

●縦列のボタンの回数の同じ数字が3個と1個の場合

横の列のボタンを押すと
△△△×や×××△の0個
○△△△や○×××の1個
○○○△や○○○×の3個

になるので
0,0,0,0で0個
0,0,0,1で1個
0,0,1,1で2個
0,1,1,1で3個
1,1,1,1で4個
0,1,1,3で5個
1,1,1,3で6個
0,1,3,3で7個
1,1,3,3で8個
0,3,3,3で9個
1,3,3,3で10個
3,3,3,3で12個
の場合があります。


●縦列のボタンの回数の数字が2個と2個の場合

横列のボタンを押すと
○○△△や○○××の2個
△△××の0個
なので

0,0,0,0で0個
0,0,0,2で2個
0,0,2,2で4個
0,2,2,2で6個
2,2,2,2で8個
の場合があります。


・縦列のボタンの回数の数字が全部同じ場合

横列のボタンを押すと
○○○○の4個
△△△△や××××の0個
なので

0,0,0,0で0個
0,0,0,4で4個
0,0,4,4で8個
0,4,4,4で12個
4,4,4,4で16個
の場合があります。

(4)と以上より
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,16
とわかりました。



栄光学園ではかなり深い問題が出題されます。僕は大問4は数学検定でも類題を見たことあります。
深い問題ですがその分、その場で考えてわかってもらうために誘導をしっかりつけることが多いので、前の問は何が言いたかったのか考える練習をしていくことで合格に近づきます！(畠田)

テーマ：中学受験
ジャンル：学校・教育

今回は聖光学院中学の第1回の理科をとりあげます


【問題分析】
大問１…植物の問題です。結構細かいところまで聞いていますが、勉強しておけば答えられる問題でもあるのでしっかり知識を固めておきましょう。

大問２…太陽と月の問題です。月何個分か、地球何個分かというのは、それぞれの直径が何個入るかということです。少し表現がわかりにくくて戸惑ったかもしれません。(3)の地球から見た時というのは、地球のある地点から見た時ということで月が24時間で公転軌道を一周したように見えるということです。これも地球の中心から見ると、27日で公転するようにも解釈できるので、わかりにくかったかもしれません。

大問３…化学の問題です。(1)は磁性体を答えるのであまり習わないので厳しいかもしれません。(2)もエタノールが溶けるからで選ぶしかなく、(4)も水溶液は電解質のものを選ぶ必要があり知識問題が難しめです。今回は(6)を解説します。


大問４…電磁石の問題です。基本的なことがわかっていれば、わかりやすい問題ばかりであり、時間なくて解けなかったという事態は避けたいところです。
満点を狙いましょう。

(問題)聖光学院中学 理科　第１回　大問3(6)
食塩は，ナトリウム原子と塩素原子が多数結びついた状態で存在しています。原子は，非常に小さい球状の粒であるものとします。次の図は，食塩の結晶の一部を抜き出して描いたものです。○は塩素原子，●はナトリウム原子を表しています。図の①，②が交互に重なって，③のようになっています。結晶の中では，○どうし，●と○は接しているとしたとき，１つの●に接している○は最大( あ )個であり，1つの○に接している●は最大(い)個であることがわかります。




[解説]

図は●を赤丸、○を青丸で書いています。

2段目の●に接している○の数は図のように

1段目は真ん中の○

2段目は●を囲む4つの○

3段目は真ん中の○

よって6個あります。

同様に1つの○に接している●は6個であるわかります。


これは高校化学の単位格子の問題で配位数と呼ばれています。



わからない知識問題はいつまでも考えても時間の無駄になります。どんどん進めて考えたら解ける場所は確実に解けば聖光学院に近づきます！(畠田)

テーマ：中学受験
ジャンル：学校・教育

今回は聖光学院の第1回をとりあげます


【入試資料分析】
第1回は受験者数は697人、合格者数は231で実質倍率は3.02倍

科目別得点結果は(科目，満点，平均点，合格者平均，合格最低点)の順に
(国語，150，89.7，103.8，68)
(算数，150，84.1，107.1，60)
(理科，100，75.5，84.4，63)
(社会，100，63.6，70.9，47)
(合計，500，312.9，366.3，342)

算数はここ数年では低めですが、ほぼ例年通りの平均点となりました。

【問題分析】
大問１…(1)基本的な計算問題です、しっかりあわせましょう。(2)群数列です、当たり前のように出来てほしいところです。(3)基本的な時計算。満点を狙いたい。

大問２…今回はこれを扱います。

大問３…旅人算の問題です。ややこしそうですが、ダイアグラムなどを書いて時間の比を書いていくと意外とそんなに難しくなく、勉強しただけ報われます。点数を稼ぎたい。

大問４…立方体の切断や正射影の問題です。(1)正射影からP,Q,Rの位置はわかりやすいとは思います。体積は立方体を半分にして三角すい2つと四角すい1つを取り除くなど少し工夫が必要ですが、あわせたい。(2)△FGHを底面とした三角すいT-FGHとS-FGHとB-FGHは高さ1:2:3です。あまりややこしい図ではないので出来れば正解したい。

大問５…(1)△PAB＋△PDE＝1/3というように向かい合う三角形の面積の和は正六角形の1/3であることや，△ABCは正六角形の1/6であることなど使います。(2)1/4が二つあるパターンは隣り合う場合と、間に1つ三角形が入る場合の2パターンあります。後は面積が同じことより対称性など利用すれば(1)のように解けます。(3)1/4になるのは向かい合う三角形が1/4と1/12になる時で高さの比は3:1です。そんなに難しいわけでもないので出来れば点数を確保したい。


(問題)聖光学院中学 第１回　大問２
2つのボタンA,Bがついた，数を表示する機械があります。この機械の最初の状では3が表示されており，ボタンを押すことによって，次のように表示される数が変わります。

ボタンAを押すと，押す前に表示されていた数に3を加えた数が新しく表示される。
ボタンBを押すと，押す前に表示されていた数に3をかけた数が新しく表示される。

たとえば，最初の状態からボタンAを押すと6が表示され，次にBを押すと18が表示され，さらにAを押すと21が表示されます。
このとき，次の問いに答えなさい。

(1)最初の状態から，順にB,B,A,A,B,Aとボタンを押したとき，最後に表示される数を答えなさい。

(2)最初の状態から何回かボタンを押して，最後に333が表示されるようなボタンの押し方のうち，ボタンを押す回数が最も少ないのは何回ですか。

(3)最初の状態から6回ボタンを押して，最後に偶数が表示されるようなボタンの押し方は全部で何通りありますか。

(4)最初の状態から何回かボタンを押して，最後に36が表示されるようなボタンの押し方は全部で何通りありますか。


[解説]
(1)計算だけして簡単に答えます。

(3×3×3＋3＋3)×3＋3＝102

(2)この問題は3進法であらわすとわかりやすくなります。

例えば3進法で121010であらわされる数は

ボタンAを押すと3足されるので
121020
というように下から2つ目の位が1つ増えます。

ボタンBを押すと3倍されるので
1210200
というように下に0が一つ増えます。

333は3進法であらわすと
110100
なので最初の3つまり3進法では10でスタートさせて最短で110100にすると
上から作っていけばいいので
10(B)→100(A)→110(B)→1100(B)→11000(A)→11010(B)→110100
の6回となります。

(3)Aでは3を加えるので
(奇数)に3をたすと(偶数)
(偶数)に3をたすと(奇数)
のようにAは偶奇が入れ替わります。

Bでは3をかけるので
(奇数)の時に3をかけると(奇数)
(偶数)の時に3をかけると(偶数)
のようにBでは偶奇はそのままです。

最後に偶数が表示されるということはAは奇数回となります。

Aが1回の時,Bが6－1＝5回でAが1つとBが5つを並べて6通り

Aが3回の時,Bが6－3＝3回でAが3つとBが3つを並べて6×5×4/(3×2×1)＝20通り

Aが5回の時,Bが6－5＝1回でAが5つとBが1つを並べて6通り

よって合計6＋20＋6＝12通りとなります。


(4)(2)でやったように
ボタンAを押すと3足されるので
121020
というように下から2つ目の位が1つ増え

ボタンBを押すと3倍されるので
1210200
というように下に0が一つ増えました。

3からスタートより一番下はそもそもずっと3なので
3進法であらわしたものを一番下の0を消して
1からスタートして

ボタンAを押すと一番下の位が1つ増える。
ボタンBを押すと一番下に0が1つ増える

で考えることにします。

逆に戻していくと

一番下の桁が0の時は
Aの逆をして1を減らす
Bの逆をして一番下の0を消す

一番下の桁が0以外の時は
Aの逆をして1を減らすしか出来ないので0になるまでAを連続して使う

ことになります。



36を3進法であらわすと
1100
なので一番下の0を取り除いて
110
で考えます。



よって図より7通りとわかりました。


この問題はn進法の問題として類題がある問題です。
普段から色々な問題を解いておくとアドバンテージになるのであらゆる問題を経験しておきましょう！(畠田)

テーマ：中学受験
ジャンル：学校・教育

今回は四天王寺中学校です

【入試資料分析】

医志コースと英数Ⅰ・Ⅱ合算
受験者数736 合格者数456 実質倍率1.61 合格最低点230/400

医志コースと英数Ⅱ合算
受験者数736 合格者数278 実質倍率2.65 合格最低点266/400

医志コース
受験者数547 合格者数93 実質倍率5.88 合格最低点299/400

各教科の平均点は
(科目,受験者平均,合格者平均,最高点,満点)
(国語,72,76,106,120)
(社会,55,58,76,80)
(算数,74,81,120,120)
(理科,54,56,77,80)
医志コースと英数ⅠⅡの合算なのであまり参考にならないかもしれません。

しかし算数は得点率は高めでミスが許されなかったであろうと言うことがわかります。


【問題分析】
大問１…シンプルな計算問題です。必ずあわせたい。

大問２…相似を使うよく練習した形と思うのであわせたい。

大問３…例題的な仕事算。さらっと正解したい。

大問４…群数列の問題です。いつもと同じことしか聞かれていないので練習していって、正解をしておきたい。

大問５…今回はこれを扱います。

大問６…①は池を回る例題みたいな旅人算です。②はグラフというヒントが与えられているためやりやすかったかもしれません。しかしPとQが重なったときも三角形ができないことを忘れないように気を付けてください。

大問７…①平行な面と切断面の交わる二つの直線は平行であるなど、断面で使う方法で断面がどうなっているかわかります。
②(上＋下)×高さの比ですね。
③切り口の赤の台形がわかりにくいと思いますが、切り口の白の三角形の面積の3/4倍です。そして白の三角形は三角すいを展開すると正方形になるから、それで面積が求められるというパターンです。これは使わないか毎回疑ってみてください。


(問題)四天王寺中学 大問５
10円硬貨が6枚あり、机の上に表を上にして横一列に並べます。
1個のさいころを投げて、出た目と同じ枚数だけ左から順に硬貨を裏返す操作をします
この操作を3回くり返した後の硬貨の表裏について考えます。
例えば，さいころの目が，順に2,3,2のとき，硬貨の表裏は図のように変化し，「裏裏裏表表表」になります。

①さいころの目が，順に3,6,1のとき，表は何枚になりますか。

②6枚の硬貨が「裏裏裏裏裏表」になりました。このとき，考えられるさいころの目の出方は何通りありますか。

③6枚の硬貨のうち，裏は5枚になりました。このとき，考えられるさいころの目の出方は何通りありますか。



[解説]
①○を表、×を裏とします。
さいころの目が3，6，1と出ると次のように変化します。
×××○○○
○○○×××
×○○×××
よって表は2枚です。

②0回を含む偶数回ひっくり返すと表、奇数回ひっくり返ると裏になります。
まず左から1～5番目までは裏なので
それぞれひっくり返った回数は1回か3回となります。
左から6番目は表なので0回か2回になります。

またひっくり返る回数は
(左の硬貨)≧(右の硬貨)
でなければいけません。

そして3は必ずどこかに必要です。

(ひっくり返った回数)→(3回のさいころの目の組み合わせ)→(目を並べると何通りあるか)
を書くと
333330→(5,5,5)→1通り
333332→(6,6,5)→3通り
333310→(5,4,4)→3通り
333100→(5,3,3)→3通り
331000→(5,2,2)→3通り
310000→(5,1,1)→3通り
よって3×5＋1＝16通り

とわかりました。


③
×××××○は②より16通り
××××○×はそれぞれひっくり返った回数は333321だけで、さいころの目の組み合わせは(4,5,6)これを並べて3×2＝6通り
×××○××も同様に333211より(3,4,5)で6通り
××○×××も同様に6通り
×○××××も同様に6通り
○×××××は一番左は必ず3回ひっくり返るのでありません。

よって16＋6×4＝40通り

とわかりました。


書き上げていって規則性を掴んでいくのがポイントです。練習して合格に近づきましょう！(畠田)

テーマ：中学受験
ジャンル：学校・教育

今回は慶應義塾中等部の理科を扱います。


【問題分析】
大問１…会話文を埋めるような問題です。化学、植物、生物、電流と幅広い分野にまたがって問われてる総合問題です。少し突っ込んだ知識を聞かれていますが、ナツミカンがすっぱいから酸性なのでアルカリ性の物質である重そうを選ぶ、発生する泡は食べて安全そうなのは二酸化炭素など問題文から読み取ることである程度わかります。読解力の練習をしておきましょう。

大問２…簡単な回路の問題です。(A)はスイッチを切り替えて明るさがかわっても、どちらも電灯はつくなど問題文を正しく理解することが大切です。

大問３…(1)(2)(3)(4)を扱いと思います。(5)問題文に天の川は銀河系の星々と書いているので銀河系をむいてる矢印を選びます、正解したい。(6)木星と土星、どっちが地球に近いは水金地火木土天海で覚えてるかもしれませんが木星は土星より大きいことは余り覚えていなかもしれません。

大問４…(1)面倒ですが本当に単にグラフから読み取るだけなので答えはあわせたい。(2)単に70×0.7＝49gと計算して選ぶだけなので正解したい。(3)水が沸とうして気体になると言うだけなので正解したい。


(問題)慶應義塾中等部 大問３(1)(2)(3)(4)
東京でみる星空について次の問いに答えなさい。
(1)図Aは2月・8月の夜8時頃に南の方角から観測者の真上の空にかけて見える星を、星座とみなしたときの線を加えて描いたものです。8月の夜空にみえるのは1・2のどちらですか。
(2)図Aのうち、より高度が高いところに見えるのは1・2のどちらですか。
(3)図Aんび1で、天の川が通っているのはどの方向ですか。次の中から選びなさい。
(4)図Aの中にはそれぞれの季節の大三角を構成する星があります。ア・イ・ウの星の名前をカタカナで書きなさい。


[解説]
(1)8月は南の方角に夏の大三角が見えるので1とわかります。

(2)はくちょう座とこと座は天頂付近に見えることがよく解説されているので1とわかります。ちょっとした説明文を余裕があれば読んでおきたいところです。

(3)彦星はわし座のアルタイル、織姫はこと座のベガなので、天の川はこの二つの星が分断されるようになっているはずです。
しかもはくちょう座のデネブが目立つと、三角関係になってしまって
七夕の話が遠くて会えない素敵な人より、近くの会えるちょっと素敵な人と結婚するとか生々しくなってしまうはずなのでデネブが川の中にあるものと思われます。
そう考えてもa-dとわかります。

(4)わし座のアはアルタイル、彦星です。
ハクセイにされたわしの胴にあるタイルのイメージです。
夏の大三角の星は全て白なのも覚えていてください。

こいぬ座のイはプロキオンです、
まだ子犬やのに、プロがガチで訓練してキャンキャン鳴いてるイメージです。

おおいぬ座のウはシリウスです。
白色なのでも覚えておいてください。
お座りしすぎて、尻の毛が薄くなって白くなっているイメージです。


少し突っ込んだ知識を聞かれることがありますが、問題文から読み取ったり何とか考えて正解に結びつけることも大切です。日々の積み重ねで合格に近づきます！(畠田)

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